Hitta nollställen: y=x^n-x^(n-2).

Hej!

Denna uppgift postade Päivi. (tråden med uppgfiten är: https://www.pluggakuten.se/trad/problematiskt-3/ uppgfit 1047.)

Hitta alla nollställen till: $y = x^{n} - x^{n - 2} (= 0)$ . n>2 (n större än 2 och Z (heltal)).
---------------------

Har lite funderingar. Hur vet man hur många svar/nollställen funktionen har?

Har man en funktion f(x) = y = x^2+ax+b har man ju oftast 2st nollställen (andragradsekvation).
Tre nollställen i en tredjegradare, osv.
-----------------------

Har vi då ekvationen: $y = x^{n} - x^{n - 2} = 0$ .

Här ser vi ju inte riktigt vad för typ det är. Det kan ju likväl vara en 10 gradare? När jag "löste den" tänkte jag:

$\frac{x^{n}}{x^{n - 2}} = x^{n - (n - 2)} = x^{n - n + 2} \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 .$

(Ska man nöja sig med ett nollställe?)

Edit (efter första svaret): Ekvationen ovan löses på fel sätt, ska vara: $. . . \Rightarrow x^{2} = 1$ .
-----------------------

Man kan ju också bryta ut:

$x^{n} (1 - x^{- 2}) = 0$ .

Här får vi två ekvationer som kan var =0.

$e k v 1 : x^{n} = 0 e k v 2 : 1 - x^{- 2} = 0$

ekv1 ger ju som bekant från ovan att x = 0

ekv2 ger då: $1 = \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow x = \pm \sqrt{1} \Rightarrow x = \pm 1$ .

Vi har då:

x1=0

x2=-1

x3=+1

Stämmer detta, kan man få fram nollställena utan n?
-----------------------

Hur vet jag att funktionen har just 3 nollställen, kan jag vara säker på att den inte har 4, 5 eller flera?

Tack.

Först: raden där du dividerar de två termerna löser en helt annan ekvation (x^n/ x^(n-2)=0), men låt oss diskutera din riktiga lösning nedanför.

Det stämmer att den har de tre nollställena, och du har ju inte tappat bort några på vägen, så det är alla lösningarna.

Att den inte hade fler kunde du inte veta i förväg, som du säger så kan det ju vara t.ex. en tiondegradsekvation, som kan ha upp till tio lösningar. Men precis som en andragradsekvation kan ha en ensam dubbelrot (t.e.x x²+2x+1=0) eller inga reella lösningar alls (t.ex. 2x²+x+1=0) så behöver inte en en tiondegradsekvation ha 10 lösningar, utan det är bara en övre gräns.

Ah just ja där har vi lite glömd kunskap. Graden sätter maxgräns.

Yepp nu ser jag felet jag gjorde vid den första "lösningen".

$x^{n} - x^{n - 2} = 0 \Leftrightarrow x^{n} = x^{n - 2} . \frac{x^{n}}{x^{n - 2}} = 1 . (alltså inte = 0 som jag utgick från.)$

Tack!

kan någon snälla lägga upp hela lösningen till uppgiften.

nasramohamud skrev:
kan någon snälla lägga upp hela lösningen till uppgiften.

Välkommen till Pluggakuten!

Nej, det är inte så det går till här. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa uppgiften själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem. Gör en ny tråd där du skriver frågan och visar hur du har tänkt själv, hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator

Svara Avbryt

Visa senaste svar