Hur bär jag mig åt i denna ekvation?

Ser ut som en bra start! Om du nu samlar allt på ena sidan, blir andra sidan noll. Lyckas du då faktorisera uttrycket kan du använda nollproduktmetoden.

Då får jag: $\frac{4{\cos }^2\left(v\right)}{9} - {\left(2\sin \left(v\right)\cos \left(v\right)\right)}^2 = 0$och härifrån faktorisera VL. Lite osäker men kanske något i stil med: ${\cos }^{2}v\left(\frac{4}{9} - 2{\sin }^2\left(v\right)\right)$?

Ser toppenrimligt ut. Ekvationen är alltså

$\cos^2(v)\left(\frac{4}{9} - 2\sin^2(v)\right) = 0$

Kommer du ihåg nollproduktmetoden?

EDIT: Ändrar mig! Snudd på toppenrimligt. Vad händer med 2an i parentesen när du utvecklar $\left(2\sin(v)\cos(v)\right)^2$?

Vad kul! :) 

Då har vi: 

$Fal{l}_1$ som ger ${\cos }^2\left(v\right) = 0$ eller $fal{l}_2$ som ger $\frac{4}{9} - 2{\sin }^2\left(v\right) = 0$ och då ska jag väl se för vilka värden ${\cos }^2\left(v\right)$ blir lika med 0 och detsamma gäller för fall2?

Ja, du har approachen rätt nu, men vi tappade en detalj på vägen:

$\frac{4\cos^2(v)}{9} - \left(2\sin(v)\cos(v)\right)^2 = 0 \\ \frac{4\cos^2(v)}{9} - 2^2\sin^2(v)\cos^2(v) = 0$

Tvåan i parentesen blir alltså också kvadrerad! Så nu när vi bryter ut cos²v får vi

$\cos^2(v)\left(\frac{4}{9} - 4\sin^2(v)\right) = 0$

Ajajajaj! Livsviktig detalj där! 

Om jag då börjar med fall1 dvs ${\cos }^2\left(v\right) = 0$(nu kör jag i grader då) så blir det då vinklarna är 90 grader respektive 270 grader? Jag provade att skriva in i grafräknaren ${\cos }^2\left({90}^{\circ }\right)$ och ${\cos }^2\left({270}^{\circ }\right)$ och det slänger ut en nolla. Det blir väl svaren för fall1?

Tillägg: Nu blev jag lite osäker... Ska jag kanske skriva om det först som $1- {\sin }^2\left(v\right) = 0$ och därefter lösa... Blev helt plötsligt lite osäker...

Ännu mer tillägg: Men nu kom jag på att det kanske är samma sak ifall jag löser det som cos^2(v) eller ifall jag skriver om det som 1- sin^2(v)

Stämmer, men använd hellre enhetscirkeln för att resonera dig fram till såna lösningar. Cosinusvärdet motsvarar x-koordinaten i enhetscirkeln, så vilka vinklar pekar på en punkt där x=0? Jo, vinklar som pekar antingen rakt upp (90 grader) eller rakt ned (270 grader). Miniräknaren ska inte behövas där!

Dessutom, i allmänhet vill vi lösa ekvationer fullständigt. Vi vill alltså hitta alla lösningar. Du har hittat två, men vinklarna -90 och 450 pekar också antingen rakt ned eller rakt upp, så de uppfyller också att $\cos^2(v) = 0$. Man brukar därför slänga på ett valfritt (helt) antal perioder, för att beskriva alla lösningar på en gång:

$v = 90^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v = 270^\circ + n\cdot 360^\circ$

Så att ena lösningen är "någon vinkel som pekar rakt upp" och andra är "någon vinkel som pekar rakt ned" - inte nödvändigtvis på "första varvet" i enhetscirkeln. Dessa två lösningsmängder kan också slås ihop till en enda, genom att hoppa från 90 till 270 och vidare, med halva varv:

$v = 90^\circ + n\cdot 180^\circ$

Angående tilläggen: Du kan absolut byta ut $\cos^2(v)$ mot $1-\sin^2(v)$ om du vill. Det är inte nödvändigt, men det är ett annat sätt som ger samma lösningar. Alla vägar -> Rom.

Juuuuuuuuust det! Det kändes fel att bara svara 90 grader respektive 270 grader. Jag hade glömt detta med att lösa ekvationen fullständigt. Tack för det Skaft. 

Vi tar fall2 nu innan avrundning. 

Vi har alltså: $\frac{4}{9} - 4{\sin }^2\left(v\right) = 0$som jag skriver om som $4{\sin }^2\left(v\right) =\frac{4}{9}$och då väljer jag att bli av med 4:an från VL och då får jag ${\sin }^2\left(v\right) =\frac{4}{9}·\frac{1}{4} = \frac{4}{36}$ som efter division med 4 ger en förenkling till $\frac{1}{9}$ dvs ${\sin }^2\left(v\right) = \frac{1}{9}$.

Då kommer jag få 2 fullständiga svar för fall2 

$v_1 = \frac{1}{9} + n · {360}^{\circ }$ och $v_2 ({180}^{\circ }-\frac{1}{9}) + n ·{360}^{\circ }$eller kanske mer lämpligt att skriva i grader, såhär: $v_1 = 6,{37}^{\circ } + n ·{360}^{\circ }$och $v_2 =173,{63}^{\circ } + n · {360}^{\circ }$

Nja, nu försvann en sån där detalj igen. Det är ju $\sin^2(v)$ i vänsterledet, inte $\sin(v)$. Så först måste vi lösa ut sinusvärdet, som pga. kvadraten kan vara antingen positivt eller negativt:

$\sin^2(v) = \frac{1}{9} \\ \sin(v) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Så det här fallet grenas upp i ytterligare två fall! Men nu är du nästan i mål. (Och vinkeln till ett sådant här sinusvärde kräver ingen att du ska hitta utan räknare)

Ajdå! Fan också! Vilket onödigt slarv av mig. :(((((

Men då behåller jag de två fullständiga lösningar som jag skrev ovan? 

Då bör väl dem resterande lösningarna ges av: 

$v_1 = \frac{1}{3} + n · {360}^{\circ } \leftrightarrow 19,{47}^{\circ } + n · {360}^{\circ }$ och $v_2 = \left({180}^{\circ } - (-\frac{1}{3}) \right)+ n · {360}^{\circ } \leftrightarrow 179,{42}^{\circ } + n · {360}^{\circ }$

Blir lite osäker ifall ovan svar är korrekt, hoppas! 

Försök ta mindre steg när du räknar, jag får känslan att du försöker göra lite för mycket på en gång och därför går det snett. Ha inte bråttom, ta bara en sak i taget. Långsam och noggrann is the shit. Så:

$\sin(v) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Först: Kan vi förenkla detta? Vad blir roten ur en niondel? SPOILER okej det blir 1/3:

$\sin(v) = \pm \frac{1}{3}$

Sinusvärdet är alltså antingen 1/3, eller -1/3. Det är två olika fall, som vi får behandla separat. Börja då med den positiva:

$\sin(v) = \frac{1}{3}$

Vi har vinkelns sinusvärde, så en vinkel kan vi hitta genom att använda inversfunktionen till sinus ($\sin^{-1}$ eller $\arcsin$).

$v_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19.47^\circ$

Men, vinkeln kan ju speglas i y-axeln också, vilket ger en till lösning:

$v_2 \approx 180^\circ - 19.47^\circ = 160.53^\circ$

Och dessutom kan båda lösningar förskjutas med ett helt antal helvarv:

$v = 19.47^\circ + n \cdot 360^\circ \\ v = 160.53^\circ + n \cdot 360^\circ$

Det var ena fallet! Om sinusvärdet är negativt då?