15 svar

232 visningar

Kanelbullen är nöjd med hjälpen

Hur ska företaget maximera produktionen? Produktionsfunktion och derivering

Hej!

Jag har fått en uppgift som ska lösas och jag vet svaret, men inte hela vägen fram dit.

Jag behöver alltså hjälp med att se över derivering och förenkling i mina uträkningar.

UPPGIFT:

Vi har en produktionsfunktion,

$f (L, K) = 4 \cdot L^{0, 4} K^{0, 6}$ ,

där L står för arbetskraft och K står för kapital.

Den budget som företaget har till sin förfogan är $100 L + 200 K = 200 000 .$

Företaget vill nu anställa och skaffa kapital i de mängder som gör att man maximerar produktionen.

Hur mycket L respektive K ska man använda?

SVAR ENLIGT FACIT:

Svaret är att man ska välja 800 enheter arbetskraft (L) och 600 enheter kapital (K).

MITT FÖRSLAG PÅ ATT BÖRJA LÖSA UPPGIFTEN:

Vi vet produktionsfunktionen $f (L, K) = 4 \cdot L^{0, 4} K^{0, 6}$ och vi har en budgetrestriktion $100 L + 200 K = 200 000 .$

Budgetrestriktionen kan vi se som ett bivillkor och ur den ekvationen kan vi lösa ut exempelvis L.

$100 L + 200 K = 200 000 \Leftrightarrow 100 L = 200 000 - 200 K \Leftrightarrow L = \frac{200 000 - 200 K}{100} \Leftrightarrow L = \frac{100 \cdot (2000 - 2 K)}{100} \Leftrightarrow L = 2000 - 2 K .$

Insatt i produktionsfunktionen ger det

$P r o d f (K) = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot K^{0, 6} .$

Produktionsfunktionen är nu en produkt av två funktioner,

$f (K) = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4}$ och $g (K) = K^{0, 6} .$

Derivatan av dessa funktioner är

$f' (K) = 1, 6 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot (- 2)$

och $g' (K) = 0, 6 K^{- 0, 4} .$

Derivatan av produktionsfunktionen kan ge maxpunkten, och där bör produktionen vara maximerad. Om jag deriverar produktionsfunktionen nu med hjälp av produktregeln så kommer jag att kunna sätta denna derivata till 0 för att få veta vad K är när derivatan är 0, dvs vid maximerad produktion. Därefter kan jag även lösa ut L ur produktionsfunktionen.

Jag inleder derivering av produktionsfunktionen,

$P r o d f' (K) = - 3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot K^{0, 6} + 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} .$

Jag kan även sätta derivatan till noll, men jag borde nog förenkla en hel del också, vilket jag tycker är svårt.

$0 = - 3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot K^{0, 6} + 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} \Leftrightarrow 3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot K^{0, 6} = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} .$

Kan någon hjälpa mig vidare?

Har jag gjort rätt så här långt?

Det ser rätt ut så långt.

Om du skriver om K^0,6 till 1/(K^-0,6), ser du något intressant då?

Om man behöver använda produktformeln för att ta fram derivatan borde den här tråden inte ligga i Ma3, eftersom man inte lär sig produktregeln förrän i Ma4. Om detta är en Ma3-fråga skall det finnas ett annat sätt. Kanelbulle, brukar inte du läsa matte på universitetsnivå? Du kan själv flytta din tråd genom att redigera ditt förstainlägg. /moderator

Det kanske blir skojigare om man logaritmerar f. Kan det bli Matte3 då?

Ok! Smaragdalena :-) Jag ska ändra till matte 4, det är en uppgift ur en bok som är förberedelse inför universitetet. Jag jobbar med den eftersom jag har vissa luckor märker jag nu, när jag läser på universitetsnivå.

Nu skriver jag om ekvationen med inspiration av Lagunas inlägg:

$3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot K^{0, 6} = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} \Leftrightarrow \frac{3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6}}{K^{- 0, 6}} = \frac{4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4}}{0, 6 K^{0, 4}} .$

Då får täljare och nämnare samma exponent, men jag vet ändå inte hur jag ska gå vidare. Jag har ju inte samma bas till exponenten.

Alternativt tar man VL och HL upphöjt till $5$ och deriverar därefter.

Kanelbullen skrev:
Ok! Smaragdalena :-) Jag ska ändra till matte 4, det är en uppgift ur en bok som är förberedelse inför universitetet. Jag jobbar med den eftersom jag har vissa luckor märker jag nu, när jag läser på universitetsnivå.
Nu skriver jag om ekvationen med inspiration av Lagunas inlägg:
$3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6} \cdot K^{0, 6} = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} \Leftrightarrow \frac{3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6}}{K^{- 0, 6}} = 4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4} \cdot 0, 6 K^{- 0, 4} .$
Då får täljare och nämnare samma exponent i VL, -0,6, men jag vet ändå inte hur jag ska gå vidare. Jag har ju inte samma bas till exponenten.

Gör nästan samma sak i högerledet, så får du en ekvation i (2000-2K)/K.

Tack Laguna.

Då har jag skrivit om VL och HL till $\frac{3, 2 \cdot {(2000 - 2 K)}^{- 0, 6}}{K^{- 0, 6}} = \frac{4 \cdot {(2000 - 2 K)}^{0, 4}}{0, 6 K^{0, 4}}$

men förstår inte hur jag kommer till (2000-2K)/K.

Nu när jag har samma exponent i täljare och nämnare i VL såväl som i HL, hur löser jag ut K?

Sätt $u=\frac{2000-2K}{K}$ och lös ekvationen i $u$ .

$\frac{(2000-2K)^{-0,6}}{K^{-0,6}} = (\frac{2000-2K}{K})^{-0,6}$ .

Tack tomast80 och Laguna.

Jag sätter $u = \frac{2000 - 2 K}{K}$

och får då ekvationen

$3, 2 \cdot u^{- 0, 6} = 4 \cdot {(\frac{2000 - 2 K}{0, 6 K})}^{0, 4} .$

Hur får jag bort 0,6 i nämnaren i HL så att jag kan ersätta $\frac{2000 - 2 K}{K}$ med u även där?

Jag provade att multiplicera både VL och HL med 0,6, men det blev fel.

$f = 4 {(2000 - 2 k)}^{0.4} \times k^{0.6} f' = 4 [{(2000 - 2 k)}^{0.4} \times 0, 6 k^{- 0.4} + k^{0.6} \times 0.4 {(2000 - 2 k)}^{- 0.6} \times - 2] = 0 {(2000 - 2 k)}^{0.4} \times 0, 6 k^{- 0.4} - k^{0.6} \times 0.8 {(2000 - 2 k)}^{- 0.6} = 0 {(2000 - 2 k)}^{0.4} \times 0.6 k^{- 0.4} = k^{0.6} \times 0.8 {(2000 - 2 k)}^{- 0.6} \frac{0.6 {(2000 - 2 k)}^{0.4}}{k^{0.4}} = \frac{0.8 k^{0.6}}{{(2000 - 2 k)}^{0.6}} k o r s m u l t i p l i c e r a 0.6 {(2000 - 2 k)}^{1} = 0.8 k^{1} p o t e n s r e g l e r k = 600$

det behövs alltså bara raka räkningar

Smart oneplusone2.

Tack!

$0, 6 (2000 - 2 K) = 0, 8 K \Leftrightarrow 1200 - 1, 2 K = 0, 8 K \Leftrightarrow 1200 = 2 K \Leftrightarrow K = 600$

Sätt in $K = 600$ i budgetrestriktionen vilket ger värdet för $L$ :

$100 L + 200 \cdot 600 = 200 000 \Leftrightarrow 100 L = 200 000 - 120 000 \Leftrightarrow 100 L = 80 000 \Leftrightarrow L = 800$

Jag har en fråga angående det som oneplusone2 redovisade:

Var tog 4 innan [ … ] vägen?

Jag antar att man kunde dela bort den genom att dividera med 4 i båda led? Stämmer det?

Ja,

$4\cdot g=0\Rightarrow$

$\frac{4\cdot g}{4}=\frac{0}{4}$

$g=0$

Svara Avbryt

Visa senaste svar