6 svar
54 visningar
Johanna93 behöver inte mer hjälp
Johanna93 91
Postad: 30 okt 16:24

Implikationspil, generaliserade konjugatregeln, rötter

Har 3 funderingar

Är det alltid implikationspil om man kvadrerar en kvadratrot? 

Finns det något sätt att komma ihåg generaliserade konjugatregeln eller är det bara att försöka minnas den? Den är ju a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) eller a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

Finns det även för tex a4-b4?

Antal rötter till ekvationer är det max vad gradtalet säger? Tex x4+3x2 kan då ha max 4 rötter? X2+2x kan ha max 2 rötter, eller hur vet man hur många rötter en ekvation kan ha? 

naytte Online 5078 – Moderator
Postad: 30 okt 16:50 Redigerad: 30 okt 16:51

Vad menar du med första frågan?

Det är nog bara att försöka minnas den, alternativt lära dig härleda den.

Ja, graden anger hur många nollställen polynomet har maximalt (de kan vara komplexa). Ibland så uppträder samma rot flera gånger, och då ligger flera nollställen på samma ställe.

Gustor 347
Postad: 30 okt 16:52 Redigerad: 30 okt 16:53

Med fråga ett, menar du att om

√x = y, så är x = y^2?

Om ja, så är svaret att ja, om den första ekvationen gäller, så medför det att den andra gäller. Det kan dock vara så att den andra ekvationen gäller även när den första inte gör det, t.ex. om y är ett negativt tal.

Fråga två: Det finns en sats som säger att a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b + a^(n-3)*b^2 + ... + a*b^(n-2) + b^(n-1)).

Uttrycket i den andra parentesen i HL är alltså t.ex. a^2 + ab + b^2 för n = 3, och a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3 för n = 4.

Fråga tre: Om ett polynom p(x) är av grad n>0 och har komplexa koefficienter så har p(x) exakt n stycken komplexa rötter, räknat med multiplicitet. Detta faktum brukar kallas algebrans fundamentalsats (fundamental theorem of algebra). Notera dock att satsen inte garanterar existensen av några reella rötter. Polynomet x^2 + 1 har exempelvis inga reella rötter, men två komplexa rötter i och -i.

Notera också att eftersom de reella talen ingår i de komplexa talen, så innebär satsen att om p(x) har reella koefficienter, så har p(x) också n komplexa rötter.

Om ett polynom av grad n har k reella rötter för något k<n så innebär det alltså att de resterande n-k rötterna är komplexa.

Johanna93 91
Postad: 30 okt 20:04

Tack för era svar!

Lägger in en bild på vad jag menar med fråga 1. 

Johanna93 91
Postad: 30 okt 20:11

"Uttrycket i den andra parentesen i HL är alltså t.ex. a^2 + ab + b^2 för n = 3, och a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3 för n = 4." 

Tänker på detta du skrev. Men (a-b) som är i första parantesen måste alltid vara med? Och det blir inte dubbelt eller något av första parantesen? Och hur blir det om det är a4+b4? Ät det varannan minus och plus då i andra parantesen? 

Gustor 347
Postad: 30 okt 21:20
Johanna93 skrev:

Tack för era svar!

Lägger in en bild på vad jag menar med fråga 1. 

Ja, det kan generellt finnas fler lösningar på en ekvation på formen y=x2 än vad det finns för y=x. Därför har vi inte en implikation , alltså inte en ekvivalens. Vi behöver något från sammanhanget, som t.ex. att det är givet att x är icke-negativt, för att vi ska ha en ekvivalens.

Man kan visa att

an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2++abn-2+bn-1).

Det betyder bland annat att an-bn alltid är delbart med a-b, för alla n1.

 

Det finns en formel för hur man kan faktorisera an+bn, men den blir lite krångligare om man vill betrakta alla heltal n1. För udda n gäller dock att
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-...-abn-2+bn-1).

För n=4 finns det inte någon faktorisering av an+bn, åtminstone inte om man vill undvika komplexa koefficienter. Däremot för n=6 kan man exempelvis faktorisera som (a2+b2)(a4-a2b2+b4).

Gustor 347
Postad: 30 okt 21:28

Jag tror för övrigt de enda värdena på n för vilka vi inte kan faktorisera an+bn är om n=2k för något k0. Inte helt säker dock.

Svara
Close