23 svar
132 visningar
mask134 är nöjd med hjälpen
mask134 404
Postad: 5 mar 16:03

Integral med derivata

Hej jag har fastnat på det här: Låt f(x)=x2 πx ecos t dt. Vad är f'(π)?

Pelle 156
Postad: 5 mar 16:39

Här kan du använda produktregeln för derivata samtidigt som du utnyttjar analysens huvudsats! Då får du ett uttryck med två termer varav en innehåller en integral

Tar du sedan f´(π) så löser sig denna integral väldigt smidigt utan att du behöver hitta nån primitiv funktion.

Har du gjort nåt försök? Det är snudd på huvudräkning om man har huvudsatsen klar för sig, men utan den är problemet hopplöst... Bra uppgift! 

rapidos Online 1493 – Live-hjälpare
Postad: 5 mar 16:40 Redigerad: 5 mar 16:58

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Jag har tittat närmare på primitiva funktionen. Den är knepigare än jag trodde.

Pelle 156
Postad: 5 mar 17:01
rapidos skrev:

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Ja rapidos, vad är eg(x)dx om inte g(x) är en linjär funktion... Ingen framkomlig väg väl? 

mask134 404
Postad: 6 mar 16:46

Sen om jag vet vad derivatan är hur kan jag använda  analysens huvudsats?

johannes121 233
Postad: 6 mar 17:23
mask134 skrev:

Sen om jag vet vad derivatan är hur kan jag använda  analysens huvudsats?

Du vet att derivatan av en primitiv funktion är funktionen i sig. Integrering och derivering är varandras inverser.

mask134 404
Postad: 6 mar 17:26

Jag använde produktreglen och fick att det blir 2x*cos(t)-x^2*sin(t).  Hur kan jag använda analysens huvudsats? 

mask134 skrev:

Jag använde produktreglen och fick att det blir 2x*cos(t)-x^2*sin(t).  Hur kan jag använda analysens huvudsats? 

Då använde du produktregeln fel - enånting kan inte bara försvinna.. Visa steg för steg hur du gjorde, så kan vi hjälpa dig att hitta var det blev tokigt. 

mask134 404
Postad: 6 mar 18:24

Är inte g(x) lika med cos(t)? 

mask134 404
Postad: 6 mar 23:46

Ingen hjälper va.

AlvinB 3951
Postad: 6 mar 23:55
Pelle skrev:
rapidos skrev:

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Ja rapidos, vad är eg(x)dx om inte g(x) är en linjär funktion... Ingen framkomlig väg väl? 

Det är faktiskt så att den primitiva funktionen kan bestämmas även i andra fall än då g(x)g(x) är linjär. Faktum är att problemet går att lösa om t.ex. g(x)=arccos(x)g(x)=\arccos(x).

(Men tyvärr inte för g(x)=cos(x)g(x)=\cos(x), så detta blir väl mest kuriosa i detta sammanhang.)

mask134 404
Postad: 7 mar 00:10

Jag vet inte kan du hjälpa mig.

AlvinB 3951
Postad: 7 mar 00:18

Okej, så här:

Låt

gx=πxecos(t) dtg\left(x\right)=\displaystyle\int_\pi^x e^{\cos(t)}\ dt

och då blir f(x)=x2·g(x)f(x)=x^2\cdot g(x).

Enligt produktregeln så är ju

f'(x)=2x·g(x)+x2·g'(x)f'(x)=2x\cdot g(x)+x^2\cdot g'(x)

Om du nu vill bestämma f'(π)f'(\pi) behöver du alltså veta g(π)g(\pi) och g'(π)g'(\pi). Kan du ta reda på dessa på något sätt?

mask134 404
Postad: 7 mar 00:35 Redigerad: 7 mar 00:48

Efter det hur använder jag analysens huvudsats?

mask134 404
Postad: 7 mar 01:06

Hej jag har försökt men jag får svaret noll.

mask134 skrev:

Hej jag har försökt men jag får svaret noll.

Vad är det du har fått till 0?

AlvinB 3951
Postad: 7 mar 10:47 Redigerad: 7 mar 10:47

Analysens huvudsats säger ju att om du har en funktion på formen

Fx=axft dtF\left(x\right)=\displaystyle\int_a^x f\left(t\right)\ dt

så gäller F'(x)=f(x)F'(x)=f(x) (under förutsättning att ff är kontinuerlig).

I vårt fall kan detta tillämpas på

gx=πxecos(t) dtg\left(x\right)=\displaystyle\int_\pi^x e^{\cos(t)}\ dt

Då blir ju g'(x)g'(x) helt enkelt

g'(x)=ecos(x)g'(x)=e^{\cos(x)}

Vad blir nu g'(π)g'(\pi)?

mask134 404
Postad: 7 mar 13:05

Det blir isåfall g(π)= e^cos(π) = 1/e men för g'(π) = e^cos(π) blir det -1/e^2.

AlvinB 3951
Postad: 7 mar 13:27 Redigerad: 7 mar 13:27

Vadå?

g'π=ecos(π)=e-1=1eg'\left(\pi\right)=e^{\cos(\pi)}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}

g(π)g(\pi) har vi ju inte sagt så mycket om, men det kan vi ju kika på nu:

gπ=ππecos(t) dtg\left(\pi\right)=\displaystyle\int_\pi^\pi e^{\cos(t)}\ dt

Vad blir denna integral? (Titta närmare på integralgränserna!)

mask134 404
Postad: 7 mar 14:38

 Är inte integralgränser båda pi och om dem är pi så är g(π)=0?

mask134 404
Postad: 7 mar 15:45

Hej när jag har nu  f'(π)= 2x*0+x^2+1/e, så kan jag stoppa in det och blir 2π*0+π^2+1/e och derivera och får 

0*0+2π+1/e där 1/e är konstant och det blir 0. Så jag får svaret 0+2π+0= 2π. Är den här korrekta svaret? 

mask134 404
Postad: 7 mar 17:09

Jag vet inte varför jag får svaret alltid noll?

AlvinB 3951
Postad: 7 mar 17:15 Redigerad: 7 mar 17:16

Du verkar röra ihop det med att derivera saker flera gånger.

Vi har ju nu helt korrekt konstaterat att g'(π)=1/eg'(\pi)=1/e och g(π)=0g(\pi)=0. Vi får ju då:

f'π=2π·0+π2·1e=π2ef'\left(\pi\right)=2\pi\cdot 0+\pi^2\cdot\dfrac{1}{e}=\dfrac{\pi^2}{e}

(Detta är svaret!)

mask134 404
Postad: 7 mar 17:21

Tack  nu har jag förstått på hur man kan göra sånna uppgifter. 

Svara Avbryt
Close