Bestäm k

För att integralen av $e^{x^2}$ kan inte skrivas på ett bra ändligt sätt.

$\int e^{x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\pi }}erfi\left(x\right)+C$

Där $erfi\left(x\right)$ är den imaginära felfunktionen med Maclaurinserien:

$erfi\left(z\right)=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}+\frac{z^{11}}{1320}+...)$

Varför imaginära?

I alla fall, funktionen har ingen sluten form, så man får använda numeriska metoder för att beräkna den. Det finns tabeller och numera är den mer eller mindre inbyggd med de flesta programmeringsspråk.

Tillägg: 25 okt 2021 17:32

Åh, jag missade att minuset i -x² inte var där.

Här är en video angående den integralen.

https://www.youtube.com/watch?v=zorcLisjRUI

Det hade varit mer tacksamt om det istället var $e^{-x^2}$. Den integralen kan man få genom erf(x) som nämndes ovan eller också via foruiertransform, nämligen:

$\mathcal{F}\left\{e^{-t^2}\right\}=\sqrt{\mathrm{\pi }}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{4}}$

Så det hade inte varit allt för jobbigt om exponenten var negativ, men detta lär du dig nog senare om du pluggar vidare. :)

Överlag så har man metoderna att approximera integralen i matte 4. Exempelvis Trapetsmetoden. Lite senare (universitetsnivå) så lär mig sig Simpsons regel osv. 

I ditt fall är det alltså enklast att bara prova sig fram med räknaren än att bekymra sig om hur man gör det algebraiskt eller approximativt förhand. :)