Kan jag få lite mer intuitiv insikt i Eulers formeln? (2)

Jag tror att det var Joculator i en tråd som berättade att hon/han kom på alldeles själv något super viktigt om hur man hanterar 1 + i. Jag hittar inte trådet och jag kan inte komma på samma inblick själv... och den här grej med 1+i håller på att bli en lucka.

Till exempel:

''Skriv med Eulers formeln 1+i''. Nja, det måste vara nåt med $\sqrt{2} e$ i alla fall, och vinkeln 45 grader, så kanske $\sqrt{2} e^{\frac{π}{4 i}}$ eller $\sqrt{2} e^{\frac{i π}{4}}$ ?

''Skriv på formen a + bi talet $e^{1 + i}$ ''. Så jag tänker, som vi såg i förre avsnitt av Lost det är väl nåt med $\sqrt{2}$ ? Men å andra sidan är inte 1 + i redan i a + bi form? Ingen aning.

''Bestäm alla z sådana att $e^{z} = 1 + i$ ''. Jag ba... lol bocken skojas lite med mig. Var är kaffen?

Kan någon förklara vad är grejen med 1 + i och hur man växlar mellan a + bi, Eulers form och polarform?

(Alltså seriöst Joculator, du är riktigt smart.)

Daja skrev :
Kan någon förklara vad är grejen med 1 + i och hur man växlar mellan a + bi, Eulers form och polarform?

Det är ingen "grej" med 1 + i. Det är ett komplext tal som alla andra. Nej egentligen inte som alla andra. Det är ju unikt såtillvida att det är det enda komplexa talet som har beloppet 1/sqrt(2) och argumentet pi/4.

Har du läst om komplexa tal och polär (kallas ibland trigonometrisk) form på Matteboken.se? Där står hur du omvandlar mellan rektangulär form och polär form.

Tyvärr står där inget om Eulers (heter egentligen exponentiell) form, men det räcker att känna till sambandet r*e^(iv) = r*(cos(v) + i*sin(v)).

(Alltså seriöst Joculator, du är riktigt smart.)

Det håller jag med om.

Yngve skrev :
Nej egentligen inte som alla andra. Det är ju unikt..

HA!!!! Jag visste det!!

.. Så vad blir e^1+i :(?

Använd potenslagarna. Vad är $e^{1+i}$ lika med? (Skriv det som en produkt av två potenser.)

$e^{1} * e^{i}$ ...?

Ja precis. Vilket är absolutbeloppet för detta tal? Vilket är argumentet?

Ah. Det är ett stolpe på 90 grader!

Så?

Nej. Absolutbeloppet blir e, och vinkeln blir 1 radian - d v s lite mindre än 60 grader.

Ah ok, jag ser vad du menar:

$e^{1} = a b s o l u p p e^{1 * i} = a r g u m e n t$

Så hela talet bli: $e (\cos 1 + i \sin 1)$ .

Jag tycker att det är svårt när så mycket blandas samtidigt...

Men iaf, alla exponentiella rotationer som saknas et a ( $e^{(a = 0) + b i}$ har absolut belopp 1. Det tror jag har jag lärt mig nu.

E upphöjt till ett reellt tal blir bara ett vanligt reellt tal. Inget konstigt. e^1 = 2.718, e^3.14=23.104.

e upphöjt till ett imaginärt tal blir ett komplext tal med absolutbelopp 1. e^(i*1.5) = cos(1.5) + i*sin(1.5)

e upphöjt till ett komplext tal z blir ett komplext tal med absolutbelopp Re(z) och argument Im(z)

Bubo skrev :
E upphöjt till ett reellt tal blir bara ett vanligt reellt tal. Inget konstigt. e^1 = 2.718, e^3.14=23.104.
e upphöjt till ett imaginärt tal blir ett komplext tal med absolutbelopp 1. e^(i*1.5) = cos(1.5) + i*sin(1.5)
e upphöjt till ett komplext tal z blir ett komplext tal med absolutbelopp Re(z) och argument Im(z)

Långsamt men säkert faller bitar på plats...

Svara Avbryt

Visa senaste svar