Komplexa tal

Jag skulle utnyttja konjugatregeln:

$(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(1^2-i^2)(2^2-i^2)=...$

Ett annat alternativ är att skriva alla faktorer på polär form, helst exponentiell polär form:

$1-i=z_1=r_1e^{iv_1}$

$2-i=z_2=r_2e^{iv_2}$

$1+i=z_3=r_3e^{iv_3}$

$2+i=z_4=r_4e^{iv_4}$

Vi kan nu konstatera att $z_1$ och $z_3$ respektive $z_2$ och $z_4$ är varandras komplexkonjugat.

Det betyder att

$r_3=r_1$

$r_4=r_2$

$v_3=-v_1$

$v_4=-v_2$

Produkten kan alltså skrivas $(r_1)^2(r_2)^2e^{v_1+v_2-v_1-v_2}=...$

Ett alternativ till Yngves skrivsätt:

När man multiplicerar fyra komplexa tal, multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

$$\begin{gathered} (\sqrt{2}\angle -\alpha )*(\sqrt{5}\angle -\beta )*(\sqrt{2}\angle \alpha )*(\sqrt{5}\angle \beta )= \\ (\sqrt{2}{)}^2*(\sqrt{5}{)}^2\angle \alpha -\alpha +\beta -\beta = \\ 10\angle 0= \\ 10 \end{gathered}$$

Yngve skrev:

...

Produkten kan alltså skrivas $(r_1)^2(r_2)^2e^{v_1+v_2-v_1-v_2}=...$

Ser att jag missade ett i i exponenten. Det ska vara $(r_1)^2(r_2)^2e^{i(v_1+v_2-v_1-v_2)}$

AlvinB skrev:

Jag skulle utnyttja konjugatregeln:

$(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(1^2-i^2)(2^2-i^2)=...$

Men borde det inte blir positiva tal i båda parenteserna på slutet eftersom i^2=-1?

I steget efter det jag skrev blir det mycket riktigt positiva tal eftersom $i^2=-1$ och minus minus blir plus:

$(1^2-i^2)(2^2-i^2)=(1-(-1))(4-(-1))=(1+1)(4+1)$