Kongruens

Skall det vara mellanslag efter 10 respektive 38, så att men undre gränsen för x = 1?

ja, det blev för litet mellanslag där, jag redigerade nu

Du ska hitta de multiplikativa inverserna till 13 mod 41 på a och multiplicera ekvationen med den. På b får du konstatera att du kan förkorta bort lite först. b kan skrivas om till

$4x \equiv 19 (mod 21)$

Sedan finner du den multiplikativa inversen till 4 mod 21 och multiplicerar ekvationen med den.

okej,om jag har förstått det rätt så innebär de multiplikativa inverserna att jag ska hitta ett tal att multiplicera 13 med för att få 41 i uppgiften a, samt från 4 till 19 i uppgift b.

Du ska hitta det stal a som gör att $13a \equiv 1 (mod 41)$. Detta innebär att 13a - 1 = 41b, för något heltal b, detta kan då skrivas om som 13a - 41b = 1. Jag antar att ni lärt er lösa denna typ av diofantiska ekvationer. Kör man euklides algoritm så får man

$$\begin{gathered} 41 =\hspace{0.17em}3*13 + 2, \\ 13 =\hspace{0.17em}6*2 + 1 \end{gathered}$$

Nu kan man köra detta baklänges och få

$1 =\hspace{0.17em}\mathbf{13} - 6*2 =\hspace{0.17em}\mathbf{13} - 6 *(\mathbf{41} - 3*\mathbf{13}) =\hspace{0.17em}19*\mathbf{13}\mathbf{ }- 6*\mathbf{41}$

Så man ser att a = 19, b = 6 är lösningar. Eller framförallt att $19*13 \equiv 1 (mod 41)$

okej jag tror jag är med på det mesta men var får vi ettan från i $13a\equiv 1\left(mod41\right)$

Ja nu har du alltså den multiplikativa inversen till 13, vilket gör att man kan beräkna

$$\begin{gathered} 19*13x \equiv 19*10 (mod 41) \iff \\ x \equiv 26 (mod 41) \end{gathered}$$

Så nu vet vi att lösningarna är x = 41n + 26 och så x ska ligga i det angivna intervallet så är enda lösningen, x = 26.

okej så vi sätter in a=19 i båda led i den ursprungliga uppgiften och får då $247x\equiv 190\left(mod41\right)$

Så långt är jag med, men jag är inte riktigt med på hur vi får att x$\equiv 26$

Du har att $19*13x \equiv 1*x \equiv x (mod 41)$ samt att $19*10 \equiv 26 (mod 41)$ så kan du alltså förenkla ekvationen till

$x \equiv 26 (mod 41)$

Okej, då har vi a klart, om vi tar b uppgiften ska vi då börja med $8a\equiv 1mod42$ som ger $8a-42b\equiv 1$

Om man sedan sätter $$\begin{gathered} 42=5\times 8+2 \\ 8=4\times 2+0 \end{gathered}$$

Lägg märke till att du har att $8a - 42b =\hspace{0.17em}2(4a - 21b)$, det är alltså alltid ett jämnt tal så du kan inte finna några heltalslösningarna till ekvationen $8a - 42b =\hspace{0.17em}1$ då HL är udda. Utan du har att

$8x \equiv 38 (mod 42)$

betyder att $8x - 38 = 42y$ för något heltal y. Detta är ekvivalent med $4x - 19 =\hspace{0.17em}21y \iff 4x \equiv 19 (mod 21)$ så försök lösa denna ekvation istället.

okej ska vi då sätta

$$\begin{gathered} 21=5\times 4+1 \\ 4=2\times 2+0 \end{gathered}$$

Du har inte gjort Euclides algoritm där. Du har att

$21 =\hspace{0.17em}5·4 + 1$

Vilket alltså innebär att $(-5)·4 - (-1)·21 =\hspace{0.17em}1$, så du har att -5 är en invers. Därför får man att

$$\begin{gathered} (-5)·4x \equiv (-5)·19 (mod 21) \iff \\ x \equiv (-5)·(-2) \equiv 10 (mod 21) \end{gathered}$$

Så lösningarna är att $x =\hspace{0.17em}10 + 21n$. Det finns två lösningar i det angivna intervallet, dessa är 10 och 31.

okej då förstår jag nu, tack för hjälpen