Kvadrering

Ja, men vad skulle det vara för mening med det?

Om man vill lösa $\sqrt{x} =0$, kanske. 

Frågan är mer relevant än man först kan ana.

Om vi har en ekvation på formen f(x) = g(x) och kvadrerar så får vi en ny ekvation

f(x)² = g(x)²,

som mycket väl kan vara enklare att lösa än den ursprungliga ekvationen, vilket visas av Lagunas exempel.

Den nya ekvationen kan dock omfatta lösningar som inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. 

2x + 7 = x + 9 har en lösning, men om man kvadrerar båda led får vi en andragradsekvation som har två lösningar.

Man bör därför som regel alltid kolla att de lösningar man fått fram uppfyller den ursprungliga ekvationen. OK, det gäller ju vid all ekvationslösning.

Fråga: Kan den ursprungliga ekvationen ha en lösning som inte är en lösning till den kvadrerade ekvationen? Varför?

Fallet f(x) = 0 är speciellt, då ekvationen f(x)² = 0 alltid har exakt samma lösningsmängd som ekvationen f(x) = 0. Så i detta fall behöver man inte oroa sig för ”falska” lösningar.

Ett annat specialfall uppstår om vi vet att f(x) och g(x) alltid är större än eller lika med 0. I så fall har den ursprungliga ekvationen och den kvadrerade ekvationen alltid samma lösningar. Fråga: Varför? (Ledning: skriv om den kvadrerade ekvationen på formen f(x)² - g(x)² = 0 och använd konjugerinsregeln.)

Ett exempel där detta kan vara av nytta är ekvationer med absolutbelopp av typen

abs(f(x)) = abs(g(x))

Vi kan då istället ekvivalent lösa ekvationen f(x)² = g(x)² . Där vi utnyttjat att abs(a)² = a².

Övning: lös på detta sätt ekvationerna

abs(x - 3) = abs(x + 5)

abs(2x - 2) = abs(x - 7)

Jämför med andra lösningsmetoder.