77 svar
179 visningar
Katarina149 behöver inte mer hjälp
Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 19:52 Redigerad: 31 okt 2021 19:53

Lös ekvationen svara i radianer


Hej! Jag undrar om jag har löst uppgiften rätt. Jag undrar också hur man kan förenkla lösningsmängden

RisPris 398
Postad: 31 okt 2021 20:21 Redigerad: 31 okt 2021 20:21

läste fel

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 20:21

Kom ihåg att multiplicera med n.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 22:02

X1 = +-(pi/4) + pi •n

X2= 2pi •n

X3=pi + 2pi • n

Hur kan man förenkla lösningsmängden?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 22:06 Redigerad: 31 okt 2021 22:06

Använd urtavlan.

Rita först in x1-lösningarna och försök hitta ett enda uttryck för dessa.

Rita sedan in x2- och x3-lösningarna och försök hitta ett enda uttryck för dessa.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 22:09 Redigerad: 31 okt 2021 22:10

X1 kan förenklas till (pi/4)+pi•n

och X2 och X3 kan kanske förenklas till 2pi•n

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 22:17 Redigerad: 31 okt 2021 22:17

Nej det stänmer inte riktigt.

Vi börjar med x1. Visa en bild på den urtavla som motsvarar lösningarna i x1.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 22:45

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 22:48 Redigerad: 31 okt 2021 22:48

Tänk på att rita koordinatsystem, som två "pilar". Inte pilar åt alla håll.

Rita dessutom enhetscirkeln.

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 22:50 Redigerad: 31 okt 2021 23:21

Jag kan inte tolka din bild.

Rita en urtavla. Den är rund.

Rita in de minutvisare som motsvarar lösningarna i x1. De har en viss riktning.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 22:53 Redigerad: 31 okt 2021 22:54

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 22:59 Redigerad: 31 okt 2021 23:00

Rita den såhär ungefär, fokus är inte på axlarna, rita en större cirkel.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:06

Okej. Vad blir nästa steg?

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 23:19

Rita in dina lösningar, enligt de instruktioner Yngve givit.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:39

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 23:44 Redigerad: 31 okt 2021 23:46

Nej du ska rita in minutvisare som går från urtavlans mittpunkt till urtavlans rand. som jag visade t.ex. i det här svaret.

  1. Rita först in de minutvisare som motsvarar de två vinklar du får ur x1 då n = 0, dvs x1=π4x_1=\frac{\pi}{4} och x1=-π4x_1=-\frac{\pi}{4}.
  2. Rita sedan in de minutvisare som motsvarar de två vinklar du får ur x1 då n = 1, dvs x1=π4+πx_1=\frac{\pi}{4}+\pi och x1=-π4+πx_1=-\frac{\pi}{4}+\pi.
beerger 962
Postad: 31 okt 2021 23:46 Redigerad: 31 okt 2021 23:46

Ta en titt på den här t.ex. https://www.youtube.com/watch?v=efOtozrlGs8

Sedan (eller direkt) följ Yngves instruktioner.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:46 Redigerad: 31 okt 2021 23:47

Vet inte om jag riktigt förstår..

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 23:47

Vinkeln är π4 inte x-värdet. X-värdet ges av cosπ4

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:48

Vad ska jag istället skriva i x koordinaten?

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 23:49 Redigerad: 31 okt 2021 23:50

Du behöver inte skriva något där, men det som ska stå där om något är 12

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 23:49

Du ska inte skriva någonting alls där.

Titta på den här bilden jag gjorde till dig tidigare.

Jag vill att du gör en liknande bild fast där minutvisarna motsvarar lösningarna ur x1

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:52 Redigerad: 31 okt 2021 23:53

Ska det vara 60 grader +360n? Det känns inte att jag förstår vad jag ska göra 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 31 okt 2021 23:54

Rita en minutvisare som motsvarar vinkeln π4\frac{\pi}{4} radianer.

Visa din bild.

Katarina149 7151
Postad: 31 okt 2021 23:55

beerger 962
Postad: 31 okt 2021 23:58

π4=45

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:03

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:06

Så här.

En urtavla:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln -pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4 + pi, dvs 5pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln -pi/4 + pi, dvs 3pi/4:

Hängde du med?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:08 Redigerad: 1 nov 2021 00:09

Nej. Jag förstår inte. Hur kan jag använda det här till att kunna ”förenkla” lösningsmängden?  Vad säger urtavlorna?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:15
  • Minutvisaren som pekar snett upp till höger visar "7,5 minuter över hel timme".
  • Minutvisaren som pekar snett ner till höger visar "22,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.
  • Minutvisaren som pekar snett ner till vänster visar "37,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.
  • Minutvisaren som pekar snett upp till vänster visar "52,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.

Det skiljer alltså en kvarts timme mellan varje minutvisare.

Tänk dig nu att du har en klocka som piper varje gång minutvisaren motsvarar någon vinkel ur lösningsmängden x1.

Den klockan skulle då pipa exakt varje kvart, dygnet runt, året runt.

Är du med på det?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:18

Det här är precis samma typ av resonemang som jag förde i det här svaret i en av dina tidigare trådar.

Då skrev du att du förstod. Tänk på liknande sätt nu.

Blir det klarare då?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:18

Vart kom 7,5 ifrån?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:18

7,5 minuter över hel timme. Den minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:19 Redigerad: 1 nov 2021 00:20

Men pi/4 är samma sak som 180/4=45 grader .. Hur får du det till att bli 7,5 minuter? 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:28 Redigerad: 1 nov 2021 00:29

Jag använder en urtavla för att illustrera periodiciteten och för att jag hoppas att det med hjälp av den liknelsen blir enklare för dig att förstå hur du ska kunna sammanfatta lösningsmängder i enklare uttryck.

Titta på den här bilden. Förstår du kopplingen mellan minutvisare och vinklar?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:34 Redigerad: 1 nov 2021 00:34

”Förstår du kopplingen mellan minutvisare och vinklar?” 

Svar : Nej inte riktigt. Jag blir lite förvirrad över hur man ska se ett mönster. Vilket mönster? Kan du ge exempel på hur man kan använda sig av urtavlan för att hitta ett mönster? 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 00:40 Redigerad: 1 nov 2021 00:41

Titta på den urtavla som har fyra minutvisare.

Ser du att minutvisarna är jämnt fördelade? Det är ett mönster.

Är du med på att den klockan piper varje kvart? Det är ett mönster.

Översätt detta pipande till vinklar och periodicitet.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 00:50

Vinklarna är 45 grader , -45 grader .180 grader 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:01 Redigerad: 1 nov 2021 01:02

Jag påstår att alla vinklar i lösningsmängden x1x_1 kan representeras av x1=π4+n·π2x_1=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}.

Ser du att det är så?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:04

det är 90 grader mellan varje vinkel , därav ska det vara (pi/2)• n

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:07

Jag förstår inte vad du menar. Kan du med egna ord beskriva hur du sammanfattar alla lösningar i x1x_1?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:09

Jag menar att det är 90 grader mellan vinkeln 45 grader och -45 grader. Det är 90 grader mellan vinkeln  90 och 180 grader 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:12
Yngve skrev:

Jag påstår att alla vinklar i lösningsmängden x1x_1 kan representeras av x1=π4+n·π2x_1=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}.

Ser du att det är så?

Kan du då svara på min fråga här ovan?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:16 Redigerad: 1 nov 2021 01:17

Jag tycker inte det är lätt att se det. Svar : Nej jag ser inte det 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:19

Vad är det som är svårt att se?

  1. Är det svårt att se att de vinklar som minutvisarna motsvarar ligger pi/2 från varandra?
  2. Är det svårt att se att den minutvisare som pekar snett upp åt höger motsvarar vinkeln pi/4?
Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:20

Både 1 & 2 är svårt att se och hänga med på 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:23

Ser du att minutvisarna är vinkelräta mot varandra, dvs att vinkeln mellan två närliggande minutvisare är 90 grader?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:24 Redigerad: 1 nov 2021 01:25

Ja det ser jag 

Det är räta vinklar mellan varje minutvisare 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:25 Redigerad: 1 nov 2021 01:26

Ja, det stämmer. Är du då med på att vinkeln mellan två närliggande minutvisare är pi/2?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:26

Ja det är jag med på

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:26

Bra, då är du väl med på punkt 1?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:27

Japp. Men punkt 2?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:28

Är du med på detta?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:30 Redigerad: 1 nov 2021 01:30

ja jag är även med på det

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:31

Är du med på att 45 grader är lika med pi/4 radianer?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:33 Redigerad: 1 nov 2021 01:33

Japp  det är jag med på 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:33

Bra, då är du väl med på punkt 2?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:34 Redigerad: 1 nov 2021 01:35

Ja. Men hur tänkte du när du skrev ihop den förenklade lösningsmängden?finns det någon specifik tankesätt? För nu förstår jag enhetscirkelns dvs jag ser mönstret men jag vet inte hur jag skriva ihop det

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:35

Första vinkeln är pi/4.

Därifrån ligger alla vinklar pi/2 från varandra.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:36

Kan man skriva det 

pi/4 + (pi/2)*n=x

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:37

Ja, det stämmer.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 01:38

Men varför ska det vara just pi/4 som gångars med perioden pi/2? Vad händer med pi i lösningen  X3 i min uträkning längst uppe ?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 01:51

Nej pi/4 multipliceras inte, det är istället n som multipliceras med periodiciteten pi/2.

Det här var endast lösningsmängden x1.

De andra två x2 och x3 får vi ta imorgon om ingen annan fortsätter här och nu.

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 17:45

Nu kan vi titta på lösningsmängderna x2x_2 och x3x_3.

Du har att x2=n·2πx_2=n\cdot2\pi och att x3=π+n·2πx_3=\pi+n\cdot2\pi.

Rita nu en minutvisare som representerar en vinkel ur x2x_2, t.ex. den vinkel du får då n=0n=0. Tänk på periodiciteten. Var hamnar de andra "minutvisarna" ur x2x_2?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 22:31 Redigerad: 1 nov 2021 22:33

Man kommer alltid att hamna åt vänster . Dvs kan periodiciteten förenklas till n*pi för x2. 

För X3 blir det 

pi 

3pi 

5pi

osv

det är 180 grader mellan varje vinkel

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 22:53

Dina värden på x3x_3 är rätt. Åt vilket håll pekar alla dessa minutvisare?

Men värdena på x2x_2 äf inte helt rätt. De blir ju 00, 2π2\pi, 4π4\pi o.s.v. Åt vilket håll pekar alla dessa minutvisare?

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 22:55 Redigerad: 1 nov 2021 22:55

i X3 så pekar minutvisaren åt vänster , periodiciteten pi•n 


i x2 så pekar minutvisaren åt höger periodiciteten är 2pi • n

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 23:10
Katarina149 skrev:

i X3 så pekar minutvisaren åt vänster , periodiciteten pi•n 

Åt vänster är rätt, men periodiciteten är 2π2\pi, dvs den är inte beroende av nn.

i x2 så pekar minutvisaren åt höger periodiciteten är 2pi • n

Åt höger är rätt, men periodiciteten är 2π2\pi, dvs den är inte beroende av nn.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 23:12 Redigerad: 1 nov 2021 23:13

X2 och X3 kan alltså förenklas till 

x=2pi•n+pi

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 23:16

Ja, eller till och med x=n·πx=n\cdot\pi

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 23:20

Är det fel om man svarar x=2pi•n+pi? Eller måste man svara x=n•pi? För jag förstår inte hur du får det till att bli x=n•pi? Hur vet du att det funkar med att förenkla svaret till x=pi•n

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 1 nov 2021 23:25

Det är inte fel, men det är inte heller skrivet på enklast möjliga form, så det kan nog bli poängavdrag.

Det går att skriva x=n·πx=n\cdot\pi eftersom den mängden innehåller exakt samma vinklar som mängden x=2π+n·πx=2\pi+n\cdot\pi.

Katarina149 7151
Postad: 1 nov 2021 23:53

Hur kan du visa det/se det mha en enhetscirkel?

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 2 nov 2021 07:24 Redigerad: 2 nov 2021 07:33

Det går att visa/se med hjälp av en urtavla där en minutvisare pekar på "kvart i varje hel timme" (motsvarar lösningarna  π+n·2π\pi+n\cdot2\pi) och en annan minutvisare oekar på "kvart över varje hel timme" (motsvarar lösningarna n·2πn\cdot2\pi).

Om klockan nu piper varje gång minutvisaren når någon av dessa positioner så kommer du att ha en klocka som piper kvart i och kvart över varje hel timme dygnet runt, året runt. Det motsvarar lösningsmängden n·πn\cdot\pi.

==============

Om du föredrar enhetscirkeln så har du en radie som pekar rakt åt höger varje varv (motsvarar lösningarna n·2πn\cdot2\pi) och en radie som pekar rakt åt vänster varje varv (motsvarar lösningarna π+n·2π\pi+n\cdot2\pi). Om du lägger ihop alla dessa så kan de beskrivas av n·πn\cdot\pi.

Katarina149 7151
Postad: 2 nov 2021 12:17

Om n=1  då får vi pi. Om n=2 då får vi 2pi och hamnar på samma plats.. om n=-1 då hamnar vi åt vänster 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 2 nov 2021 15:27

Jag förstår inte vad du menar.

Katarina149 7151
Postad: 2 nov 2021 16:19

Jag menar att vi alltid kommer att antingen hamna 180 grader åt höger eller 180 grader åt vänster 

Yngve 40023 – Livehjälpare
Postad: 2 nov 2021 16:41

Om du menar rakt åt vänster och rakt åt höger så håller jag med.

Är allt klart för dig nu eller har du någon ytterligare fråga?

Svara
Close