Lika stor strålningstäthet från stjärnan på en planet som jorden får från solen

En stjärna har en yttemperatur på 6 300 K. Den är lika stor som solen.

Antag att en planet som skall kunna ha levande varelser på sin yta
måste befinna sig på ett sådant avstånd från stjärnan att den tar emot
lika stor strålningstäthet från stjärnan som jorden gör från solen. På
vilket avstånd från denna stjärna måste en planet befinna sig, för att
liv skall kunna förekomma?

Jag började med att räkna ut strålningstätheten på solen samt den andra stjärnan med $M = σ \cdot T^{4}$ .

Där solens yttemperatur är 5900K (i facit använde dem samma) och stjärnans är 6300K.

Solens $M = 68.705 \cdot 10^{6}$

Stjärnans $M = 89.319 \cdot 10^{6}$

När man då har dessa värden borde man väl kunna få ut avståndet genom:

$\frac{68.705 \cdot 10^{6}}{J o r d e n s a v s t å n d t i l l s o l e n} = \frac{89.319 \cdot 10^{6}}{A v s t å n d e t s o m p l a n e t e n b e h ö v e r v a r a p å}$

När jag omvandlar detta och räknar ut får jag $1.94 \cdot 10^{11}$ men svaret i facit är $1.7 \cdot 10^{11}$

I facit har dem räknat lite annorlunda men borde inte sättet jag använde också fungera?

Ska man dela på avståndet från stjärna till planet "rakt av", eller behöver man göra något annat?

Jag tänker på strålningstäthet som en effekttäthet mätt i W/m², åsså tänker jag på hur ytan på en sfär ökar med kvadraten på avståndet…..

Dr. G skrev:
Ska man dela på avståndet från stjärna till planet "rakt av", eller behöver man göra något annat?

Ja? Kan inte tänka på något annat man ska göra.

Se vad Affe skrev.

Den utstrålade effekten är

$P = A\epsilon\sigma T^4$

Den sprids ut på en sfär med radie r, vilket ger en strålningstäthet på

$I = \dfrac{P}{4\pi r^2} = \dfrac{A\epsilon\sigma T^4}{4\pi r^2}$

Om T nu ökar med en faktor x så måste r öka med en faktor x^2 för att I inte ska ändras. Övriga storheter är konstanta.

Hämta en ficklampa. Lys på ett papper och markera hur stor ljusfläcken blir. Flytta ficklampan (och/eller pappret) så att avståndet blir dubbelt så stort. Markera hur stor den nya ljusfläckern blir. Hur mycket större är den än den första fläcken?

Smaragdalena skrev:
Hämta en ficklampa. Lys på ett papper och markera hur stor ljusfläcken blir. Flytta ficklampan (och/eller pappret) så att avståndet blir dubbelt så stort. Markera hur stor den nya ljusfläckern blir. Hur mycket större är den än den första fläcken?

Mina kollegor bygger optik till "ficklampor" med "ljusfläckar", som t.o.m. är nästan lika stora inom ett stort avstånds-spann.

Affe Jkpg skrev:
Smaragdalena skrev:
Hämta en ficklampa. Lys på ett papper och markera hur stor ljusfläcken blir. Flytta ficklampan (och/eller pappret) så att avståndet blir dubbelt så stort. Markera hur stor den nya ljusfläckern blir. Hur mycket större är den än den första fläcken?
Mina kollegor bygger optik till "ficklampor" med "ljusfläckar", som t.o.m. är nästan lika stora inom ett stort avstånds-spann.

De ficklamporna måste vara en ganska dålig approximation till den rundstrålande solen.

Dr. G skrev:
Se vad Affe skrev.
Den utstrålade effekten är
$P = A\epsilon\sigma T^4$
Den sprids ut på en sfär med radie r, vilket ger en strålningstäthet på
$I = \dfrac{P}{4\pi r^2} = \dfrac{A\epsilon\sigma T^4}{4\pi r^2}$
Om T nu ökar med en faktor x så måste r öka med en faktor x^2 för att I inte ska ändras. Övriga storheter är konstanta.

Vad fick du den formeln på P ifrån? Jag ser bara $M = \frac{P}{A} s o m d å b l i r P = M \cdot A$

$M = σ \cdot T^{4} d å b l i r d e t v ä l l P = σ \cdot T^{4} \cdot A$ men vart fick du ϵ ifrån?

Tack i förväg för hjälpen föresten, uppskattar det verkligen!

$\epsilon$ är kroppens emissivitet. För en svartkropp är $\epsilon=1$ . För en grå kropp är $0<\epsilon<1$ (men i verkligheten är emissiviteten våglängdsberoende).

För att göra en längre analys kort:

$\frac{a_{s t j}^{2}}{a_{s o l}^{2}} = \frac{T_{s t j}^{4}}{T_{s o l}^{4}} a_{s t j} = a_{s o l} \frac{T_{s t j}^{2}}{T_{s o l}^{2}}$

Svara Avbryt

Visa senaste svar