Lineär algebra - exempel

1PLUS2 skrev:

Varför skalar dem ned kryssprodukten? 

För att de vill ha en enhetsvektor, d v s en vektor med längden 1.

Varför vill dem ha det?

Skalärprodukten kommer ju medföra projektionen på "enhetsvektorn" oavsett längden hos denna? 

Nej, skalärprodukten ges av

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos (\theta)$

Om du låter $\vec{a}$ ha längden 1  kommer du få ett tal som motsvarar vektor bs komponent i a-s riktning. Om du låter a ha en annan längd kommer du få bs komponent i a-s riktning multiplicerad med a-s absolutbelopp (dvs omskalad). Eller om du så vill as komponent i bs riktning multiplicerat med b-s absolutbelopp (skalärprodukten är symmetrisk).

Det är därför man är noga med att skilja mellan enhetsvektorer som har längden 1 (och som brukar få en hatt på huvudet, t.ex.  $\hat{\mathbf{n}}$) och en onormerad vektor, t.ex. $\mathbf{n}$.

Det finns många sätt att flå en katt, säger ordspråket, och den som har skrivit din bok föredrog tydligen det här sättet. Om du vill ha fram avståndet måste du göra den här skalningen i något skede.