10 svar
197 visningar
LinalgTenta 18
Postad: 1 aug 21:14

Linjär Algebra, avbildningsmatrisen - enkel fråga

Hej, fastnat på en ganska enkel fråga egentligen:

a) Vet att F(e_1)=F(1,0,0)=F(1,1,1)-F(0,1,1)=(2,1,0)-(1,-1,1)=(1,2-1)

Är ett effektivt sätt att beräkna kollonerna var för sig i avbilndinigsmatrisen, Vet alltså att avbilndingsmatrisen kommer se ut:

1....2....-1....

och på samma sätt kan jag ta fram kolonn 2 och 3, men jag tänkte att det är effektivare att lösa med gausselliminering, mitt försök är att omvandla vänstersidan till identietsmatrisen och då borde jag få "avbildningsmatrisen" på höger sida tänker jag. 

Jag lägger alltså F(1,1,1) och de andra två som kolonner, och så borde kolonnerna automatiskt bli avbilndingsmatrisen när jag är klar, enklare om jag visar.. nämligen:

 

11001111112121-1301 --> Gaussar detta och får 1000100011-1203-12-20

Jag märker alltså att det är en felaktig metod, eftersom den första kolonnen inte blir 1,2,-1 utan den blir 1,0,2 här... Det blir alltså fel enligt det första "säkra" sättet jag upptäckt som jag vet 100% fungerar, min genväg eller snabbare sätt att lösa den verkar inte fungera.

Men har för mig att från föreläsningen, om man gjorde som jag gjort, men istället radvis istället för kolonnvis hade man fått rätt svar, varför funkar inte denna kolonn-metod och funkar det om jag hade tänkt så radvis och gaussat till identietsmatrisen på vänster sida?

Tacksam för hjälp...

PATENTERAMERA Online 3789
Postad: 1 aug 23:04

Att göra som du började först är nog det enklaste i detta problem.

Jag gissar att du använde radoperationer när du Gaussar. Om du i stället använder kolonnoperationer så får du rätt svar.

Om du är obekväm med kolonnoperationer så börja med att transponera båda matriserna i din startuppställning. Gaussa sedan med radoperationer. Transponera sedan den högra matrisen efter att du Gaussat klart. Se nedan.

LinalgTenta 18
Postad: 1 aug 23:13

tack som tusan! Riktigt bra hjälp, schysst. 

Men varför måste man göra kolonnoperationer och varför fungerar inte radoperationer?

Hur ska man veta ifall man ska göra rad eller kolonnoperation? Varför måste man transponera den. Vad är intutionen det till?

PATENTERAMERA Online 3789
Postad: 1 aug 23:38

Den sökta matrisen ges egentligen av

12121-1301 110011111-1.

När du gör radoperationer på det sätt som du gjorde först så räknar du egentligen ut

110011111-1 12121-1301.

Om vi i stället transponerar våra matriser så kommer radoperationerna att beräkna

110011111-T 12121-1301T = 12121-1301110011111-1T, dvs transponatet av den sökta matrisen.

LinalgTenta 18
Postad: 2 aug 00:38

Hmm okej wow, tack!

Fattar matematiken nu, men har inte så mycket intution/förtsåelse bakom, varför egentligen den sökta matrisen ges av... det första uttrycket du skriver osv! :D

PATENTERAMERA Online 3789
Postad: 2 aug 18:03

Sätt A = 12121-1301 och P = 110011111.

Först lite notation. Om v är en vektor i 3och X en bas för 3så betecknar vX en kolonnvektor vars komponenter utgörs av koordinaterna för vektorn v relativt basen X.

Låt E beteckna standardbasen och låt B beteckna en bas bestående av vektorerna (1, 0, 1), (1, 1, 1) och (0, 1, 1).

Med avbildningen F:s matris i standardbasen menar man en matris M sådan att, för alla v3,

FvE=MvE (1).

Det går att visa att det alltid existerar en sådan matris och att den är unik. Se valfri lärobok i linjär algebra.

Matrisen P ger ett samband mellan en vektors koordinater i standardbasen E och basen B. Med lite eftertanke så inser man att det gäller att

PvB=vE  (2). 

Vi kan invertera uttrycket (2) genom att multiplicera båda led med P-1 från vänster och erhåller då

vB=P-1vE (3).

Matrisen A är också en slags avbildingsmatris till avbildingen F, men om man tänker efter så ser man att följande gäller

FvE=AvB  (4).

Vi kan nu sätta in (3) i (4) och erhåller

FvE=AP-1vE  (5).

Om vi jämför (5) och (1) så inser vi att det måste gälla att

M = AP-1   (6).

Så vi söker , som sagts, efter matrisen AP-1.

LinalgTenta 18
Postad: 2 aug 21:14

Alright, tror jag är med lite på tänket, men blir mycket notation, och mindre "geometrisk" förståelse för vad som händer. Uppskattar verkligen svaret, hoppas folk som googlar på denna fråga i framtiden får mycket hjälp av dina svar utöver bara jag!

Jag tänkte spontant att:

Om jag sätter kolonn = kolonn att jag därför måste göra kolonnoperationer istället för radoperationer eller är det fel tänk?

PATENTERAMERA Online 3789
Postad: 2 aug 22:21

Alla läroböcker använder olika notation. Jag försökte förklara min notation så gott jag kunde. Hoppas det inte blev för svårt att följa, om detta skiljer sig från hur er lärobok beskriver det.

Speciellt tycker jag att du skall gå igenom formlerna (2) och (4) så att du verkligen förstår varför det blir som det blir.

Om vi skriver två matriser P och A på partitionerad form [P|A] och sedan utför radoperationer tills den vänstra matrisen blivit enhetsmatrisen så kommer vi få [I|P-1A]. Om vi i stället gör kolonnoperationer så kommer vi få [I|AP-1]. I vårt fall var vi ute efter AP-1. Vi kunde sedan utnyttja tricket med transponering föra att kunna använda radoperationer i alla fall.

LinalgTenta 18
Postad: 2 aug 23:22 Redigerad: 2 aug 23:22

Tack för svar :D Uppskattas

Går det att fatta utan formler? Och notation? Eller är det omöjligt?

LinalgTenta 18
Postad: 4 aug 21:48

Hej igen @patenteramera.

 

Svarar i samma tråd för det är kontexten av frågan. Men en annan lite liknande fråga 3b nedan:

 

Här går det ju utmärkt att på b) sätta upp följande och använda radoperationer för att gaussa sig fram en lösning, varför fungerar radoperationer här, men inte på den förra frågan vi diskuterade?

PATENTERAMERA Online 3789
Postad: 7 aug 02:06

Det är olika problem, så varför skulle de inte kräva olika angreppssätt?

I detta problem blir det svårt att använda något annat än radoperationer, eftersom den vänstra matrisen har fyra kolonner men den högra bara en, så det blir i allmänhet omöjligt att utföra samma kolonnoperation på båda matriserna. Tex kan du byta plats på två kolonner i den vänstra, men det är ju omöjligt i den matris som bara har en kolonn. Radoperationer fungerar dock alltid.

Svara Avbryt
Close