Linjär avbildning

Det är ett plan. Du kan skriva ekvationen som x + 0y - z = 0. Dvs en normerad normalvektor $\hat{n}$ ges av

$\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$.

Tack! Jag kan förstå idén med att skriva ett plan genom att skalärprodukten mellan normalvektorn och någon vektor som löper från normalvektorns rot till en punkt i planet, ska bli noll, och jag ser att x + 0y - z = 0 är ett resultat av att skriva så. SAMTIDIGT förstår jag inte riktigt eftersom om jag väljer x = 1 så måste jag välja z = 1, x = 2 och z = 2 och så vidare, det vill säga bara punkter i en linje?? 

Det är sant att x=z är en linje i xz-planet. Men du får också välja vilket värde du vill på y-koordinaten. Så för punkten $x=z=1$ kan du alltså välja $y=-3$ eller $y=12$ eller $y=0$ eller ...

Om du vill kan du se det som att planet har två basvektorer, en utmed $\mathbf{b}_1=(1,0,1)$ och en utmed $\mathbf{b}_2=(0,1,0)$. Nu når du alla punkter i planet med $\mathbf{r}(s,t)=s\mathbf{b}_1+t\mathbf{b}_2$

Ett annat sätt att beskriva planet är som du själv påpekar att använda normalekvationen.

Ah! Tack så mycket!! Så självklart egentligen

Jag får ändå inte till siste delen av problemet ovan. Jag har fått fram matrisen för $v \times u$ som är $\begin{pmatrix}   0 & -5 & 2 \\5&0&5\\-2&-5&0\end{pmatrix}$. Den rätta matrisen med spegling i xz-planet ska vara $\begin{pmatrix}-2&-5&0\\5&0&5\\0&-5&2\end{pmatrix}\$ och för att få den kan jag skriva $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -5 & 2 \\5&0&5\\-2&-5&0\end{pmatrix}$.

Men jag förstår inte hur $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ kan vara en spegling i xz-planet. Är inte en spegling i xz-planet av en vektor $(x, y, z)$ $(x,-y,z)$? I så fall borde speglingsmatrisen vara $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\\z\end{pmatrix}$?

Min initiala approach var att från punkten jag kommer till efter $v \times u\$, dvs $(-5y+2z,5x+5z,-2x-5y)$, gå i planets normalriktning, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -1)$ tills jag kommer till xz-planet. Om jag bara fortsätter lika långt till i den riktningen blir väl det en spegling i xz-planet? Är det här en gångbar strategi? 

Det är inte frågan om spegling i xz-planet. Det är en spegling i planet x + 0y - z = 0.

Med den normalvektor som jag beskrev tidigare så ges speglingens matris av

I - 2$\hat{n}{\hat{n}}^T$ = $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$.

Tack, förstår nu om planet, bara för att y-koefficienten är noll betyder ju inte det att vi inte kan välja y-värden. Tror det var där jag fastnade. 

Det sista du skrev förstår jag inte, att $I-2\hat{n}\hat{n}^t$ ger speglingens matris. Finns det kanske någon litteratur ni kan hänvisa till?

Spegling av en punkt $p_0$ får man genom att från punkten dra 2 gånger projektionen på normalen, dvs det jag tror du beskriver i inlägg #6

$\displaystyle F(p_0)=p_0-2\frac{\mathbf{n}\cdot p_0}{||\mathbf{n}||^2}\mathbf{n}$

Patenteramera har skrivit om det som en matris, eftersom $(p_0\cdot \mathbf{n})=n^Tp_0$ kan vi lösa ut $p_0$ och skriva om det som 

$\displaystyle  (I-\frac{2}{||\mathbf{n}||^2}nn^T)p_0$

Säg att vi vill spegla vektorn $\overrightarrow{p}$ i planet. Efter spegling får vi vektorn $\overrightarrow{p}\text{'}$.

Planets ekvation kan skrivas $\hat{n}$•$\overrightarrow{x}$ = 0.

Vi börjar med att hitta ett värde på t så att vektorn $\overrightarrow{p}+t\hat{n}$ ligger i planet (se figur). För detta krävs att

$\hat{n}$•($\overrightarrow{p}+t\hat{n}$) = 0, vilket ger t = -$\hat{n}$•$\overrightarrow{p}$.

Resultatet av speglingen blir då (se figur) $\overrightarrow{p}\text{'}$ = $\overrightarrow{p}$ + 2t$\hat{n}$ = $\overrightarrow{p}$ - $2(\hat{n}$•$\overrightarrow{p})$$\hat{n}$ = $\overrightarrow{p}-2\left({\hat{n}}^T\overrightarrow{p}\right)\hat{n}$ = $\left(I-2\hat{n}{\hat{n}}^T\right)\overrightarrow{p}$.

Säg till om något var oklart.