Liten nattkluring #5

Hmmm... när jag tänker på de vanligt förekommande falska räknelagarna, så måste svaret nog vara 14 (eller möjligen -14). 

• Man vet ju att (A+B)²=A²+B².
• Då känns det självklart att sqrt((A+B)²) = sqrt(A²+B²)
• Eftersom kvadratroten och kvadraten tar ut varandra, så blir sqrt((A+B)²) = A+B
• De två punkterna ovan kombineras och ger sqrt(A²+B²) = A+B, eller hur?

På så sätt inser man att

sqrt(x^2+1)+ sqrt(y^2+9) + sqrt(z^2+16) = (x+1) + (y+3) + (z+4) = x+y+z + 8 = 6 + 8 = 14

MEN...! Kvadratroten spottar ut ±talet, så vi kan lika gärna få -14.

Fråga till kära läsaren: Hur många matematiska brott har begåtts i resonemanget ovan?

Jag tror Instagramförfattaren glömde att lägga till att x,y,z>0 och att de alla tre är reella.

Om

$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+9}+\sqrt{z^2+16}$

så är t.ex.

$f(1,2,3)\neq f(3,2,1)\neq f(2,2,2)\neq f\left(5,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

Jag är förmodligen trög men jag fattar inte det kluriga i det här. 

Jag tror att uppgiftsförfattaren har utelämnat något som gör uppgiften rimlig.

Om x,y,z > 0 och är reella samt att x+y+z=6, vad är minsta värdet på sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+9) + sqrt(z^2+16) ?

Jag får svaret till 10.

Jag tänker så här:

Trinity2 skrev:

Jag tror att uppgiftsförfattaren har utelämnat något som gör uppgiften rimlig.

... vad är minsta värdet ...?

Om det är minsta värdet som man är ute efter, så blir det verkligen 10 (vilket fås när x=3/4, y=9/4 och z=3). Själv hittade jag det minsta värdet m.h.a. lagrangemultiplikatormetoden.

Det var en rolig lösningsmetod som du föreslagit och jag måste erkänna att det tog mig en stund att tolka spoilern och rita rätt för att kunna se minimumet i figuren.

LuMa07 skrev:

Trinity2 skrev:

Jag tror att uppgiftsförfattaren har utelämnat något som gör uppgiften rimlig.

... vad är minsta värdet ...?

Om det är minsta värdet som man är ute efter, så blir det verkligen 10 (vilket fås när x=3/4, y=9/4 och z=3). Själv hittade jag det minsta värdet m.h.a. lagrangemultiplikatormetoden.

Det var en rolig lösningsmetod som du föreslagit och jag måste erkänna att det tog mig en stund att tolka spoilern och rita rätt för att kunna se minimumet i figuren.

Jag kommer inte ihåg så mycket om lagrangemultiplikatormetoden. Om du har tid, och lust, skulle du kunna visa? Det kan vara bra att väcka gamla kunskaper till liv igen. Allt för mycket har förlorats genom åren.

En variant på satsen om lagrangemultiplikatorer

Antag att:

• $M = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n: g{(\boldsymbol{x})} = 0\}$ är en nivåmängd för funktionen $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$;

och

• punkten $\boldsymbol{a} \in M$ är en lokal extrempunkt för funktionen $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ under bivillkoret $g{(\boldsymbol{x})} = 0$ (d.v.s.  $\boldsymbol{a}$ är en lokal extrempunkt inom $M$).

Då är 

• vektorerna $\nabla f(\boldsymbol{a})$ och $\nabla g(\boldsymbol{a})$ linjärt beroende,

eller

• så är $\nabla f(\boldsymbol{a})$ eller $\nabla g(\boldsymbol{a})$ odefinierad.

LuMa07 skrev:

En variant på satsen om lagrangemultiplikatorer

Antag att:

• $M = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n: g{(\boldsymbol{x})} = 0\}$ är en nivåmängd för funktionen $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$;

och

• punkten $\boldsymbol{a} \in M$ är en lokal extrempunkt för funktionen $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ under bivillkoret $g{(\boldsymbol{x})} = 0$ (d.v.s.  $\boldsymbol{a}$ är en lokal extrempunkt inom $M$).

Då är 

• vektorerna $\nabla f(\boldsymbol{a})$ och $\nabla g(\boldsymbol{a})$ linjärt beroende,

eller

• så är $\nabla f(\boldsymbol{a})$ eller $\nabla g(\boldsymbol{a})$ odefinierad.

Lösning via lagrangemultiplikatorer

Här sökes minimipunkten för $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+9} + \sqrt{z^2 + 16}$ under bivillkoret $g(x,y,z) = x+y+z-6 = 0$. (Mängden $M$ i satsen ovan är alltså planet $x+y+z=6$.)

Funktionerna $f$ och $g$ är differentierbara överallt i $\mathbb{R}^3$:

$\nabla {f(x,y,z)} = \begin{pmatrix}x / \sqrt{x^2+1}\\y / \sqrt{y^2+9}\\z / \sqrt{z^2+16}\end{pmatrix}$  och  $\nabla {g(x,y,z)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Två 3D-vektorer är linjärt beroende omm deras kryssprodukt är lika med nollvektorn. Detta leder till ett ekvationssystem som kan skrivas kortfattat som

$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{y}{\sqrt{y^2+9}} = \frac{z}{\sqrt{z^2+16}}$

Om denna dubbellikhet ska vara sann, så måste $x$, $y$ och $z$ ha samma tecken, alltså alla tre är positiva, eller så är alla tre negativa, eller så är alla tre lika med noll.

Det aktiva bivillkoret $x + y + z = 6$ gör att alla tre är positiva.

Dubbellikheten kvadreras och sedan utför man polynomdivision för varje av bråken:

$\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{y^2}{y^2+9} = \frac{z^2}{z^2+16} \iff \displaystyle 1-\frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{9}{y^2+9} = 1-\frac{16}{z^2+16}$

/ta bort 1:an och sedan vänd på bråken/
$\iff \displaystyle \frac{1}{x^2+1} = \frac{9}{y^2+9} = \frac{16}{z^2+16} \iff \displaystyle \frac{x^2+1}{1} = \frac{y^2+9}{9} = \frac{z^2+16}{16}$

/utför divisionen och sedan ta bort 1:an/
$\iff \displaystyle x^2+1 = \frac{y^2}{9} + 1 = \frac{z^2}{16}+1 \iff \displaystyle x^2 = \frac{y^2}{9} = \frac{z^2}{16}$

/dra kvadratroten där man utnyttjar att alla tre är positiva/
$\iff \displaystyle x = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Nu kan man sätta in $z=4x$ och $y = 3x$ i bivillkoret $x+y+z = 6$ för att ta fram $x=\dfrac34$, $y=\dfrac94$ och $z = 3$.

Detta är den enda lokala extrempunkten för $f$ i mängden $M$. Eftersom $M$ inte är kompakt, så behöver man motivera att denna punkt faktiskt ger ett globalt minimum på $M$.

Man kan exempelvis resonera att $f(x,y,z) \to \infty$ likformigt då $M \ni (x,y,z) \to \infty$

Fint!

Jag är dock lite frågande till slutet (men du har som vanligt säkert helt rätt), g=0 är en öppen mängd i R^3, men den är inte obegränsad? g=0 är ett plan som "symmetriskt lutar sig emot koordinataxlarna". Eller yrar jag?

Trinity2 skrev:

Jag är dock lite frågande till slutet (men du har som vanligt säkert helt rätt), g=0 är en öppen mängd i R^3, men den är inte obegränsad? g=0 är ett plan som "symmetriskt lutar sig emot koordinataxlarna". Eller yrar jag?

Jag sökte funktionens minsta värde på planet x+y+z=6 utan att kräva i förväg att (x,y,z) ligger i första oktanten. Därmed var mängden obegränsad.

Hade det stått från början att x>0, y>0 och z>0 (resp. x≥0, y≥0, z≥0), så skulle mängden vara en öppen (resp. sluten) triangelyta med hörnen (6,0,0), (0,6,0) och (0,0,6). Isåfall skulla optimering avslutas genom att undersöka extremvärdena på randen, d.v.s. på triangelns kanter+hörn.

T.ex. genom parametrisering av kanterna och envariabelsoptimering (d.v.s. optimering av $f_1(t) = f(t, 6-t, 0)$, där $t\in[0, 6]$, och analogt för de andra två kanterna) tar man reda på att:

• största värdet på randen antas i hörnet (6,0,0), där $f(6,0,0) = 7+\sqrt{37} \approx 13.08$;
• minsta värdet på randen antas i punkten (0, 18/7, 24/7), där $f(0,18/7, 24/7) \approx 10.22$.

LuMa07 skrev:

Trinity2 skrev:

Jag är dock lite frågande till slutet (men du har som vanligt säkert helt rätt), g=0 är en öppen mängd i R^3, men den är inte obegränsad? g=0 är ett plan som "symmetriskt lutar sig emot koordinataxlarna". Eller yrar jag?

Jag sökte funktionens minsta värde på planet x+y+z=6 utan att kräva i förväg att (x,y,z) ligger i första oktanten. Därmed var mängden obegränsad.

Hade det stått från början att x>0, y>0 och z>0 (resp. x≥0, y≥0, z≥0), så skulle mängden vara en öppen (resp. sluten) triangelyta med hörnen (6,0,0), (0,6,0) och (0,0,6). Isåfall skulla optimering avslutas genom att undersöka extremvärdena på randen, d.v.s. på triangelns kanter+hörn.

T.ex. genom parametrisering av kanterna och envariabelsoptimering (d.v.s. optimering av $f_1(t) = f(t, 6-t, 0)$, där $t\in[0, 6]$, och analogt för de andra två kanterna) tar man reda på att:

• största värdet på randen antas i hörnet (6,0,0), där $f(6,0,0) = 7+\sqrt{37} \approx 13.08$;
• minsta värdet på randen antas i punkten (0, 18/7, 24/7), där $f(0,18/7, 24/7) \approx 10.22$.

Bra. Nu känner jag igen mig!