Logaritm för frågan 2 (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

mask134 skrev:
Den andra frågan vill jag veta hur löser man den här: Lös ekvationen (lg 𝑥)^2 − 6 lg 𝑥 = 16

Kalla lg(x) för t.

Hur ser ekvationen ut då?

Det kommer se ut så här (lgx)^2-6lgx=16

= t^2-t^6=16

t^6 = 6lgx.

Är det rätt som jag har gjort.

mask134 skrev:
Det kommer se ut så här (lgx)^2-6lgx=16
= t^2-t^6=16
t^6 = 6lgx.
Är det rätt som jag har gjort.

Nej det stämmer inte. Jag tycker att du ska börja använda parenteser för argumentet till lg.

Skriv alltså lg(x) istället för lg x.

Annars är risken stor att du tar miste på lg(x^2) och (lg*x))^2.

--------

Ekvationen lyder

(lg(x))^2-6*lg(x) = 16

Byt nu bara ut varje lg(x) mot t, utan att göŕa något annat alls. Hur ser ekvationen ut då?

(lg(x))^2-6*lg(x) = 16 blir om jag byter mot t istället för x.

Det blir (lg(t))^2-6*lg(t) = 16

mask134 skrev:
(lg(x))^2-6*lg(x) = 16 blir om jag byter mot t istället för x.

Det blir (lg(t))^2-6*lg(t) = 16

Nej, jag skrev att du ska byta ut lg(x) mot t, inte x mot t

Tips

Om lg(x) = t så är (lg(x))^2 = t^2 och så vidare.

Ok. Så lg(x) blir t^2 genom att bryta det. Jag har skrivit det är t^2-t^6=16. sen vad då?

mask134 skrev:
Ok. Så lg(x) blir t^2 genom att bryta det. Jag har skrivit det är t^2-t^6=16. sen vad då?

t^2 är rätt, men t^6 är inte rätt. Visa dina räknesteg som leder fram till det.

Är inte t^6 lika med (t^3)^2 ?

mask134 skrev:
Är inte t^6 lika med (t^3)^2 ?

Jo, men var får du t^3 ifrån?

Visa steg för steg hur du kommer fram till t^6 så kan jag hjälpa dig att hitta tanke- (eller räkne)felet.

Jag vet inte jag använde potenslagen men det var inte det. Så jag vet inte.

mask134 skrev:
Jag vet inte jag använde potenslagen men det var inte det. Så jag vet inte.

Hur använde du potenslagen?

Ursäkta att jag tjatar, men jag tror att vi behöver reda ut detta.

Inte att jag visar hur det ska vara, utan att du förstår hur det inte ska vara.

Genom att jag vet 3*2 är 6 och med (a^x)^y potenslagen och stoppade in (t^3)^2. Men det är inte rätt tror jag. Kanske det blir bara 6lg(x) = 6*t^2 tror jag.

mask134 skrev:
Genom att jag vet 3*2 är 6 och med (a^x)^y potenslagen och stoppade in (t^3)^2. Men det är inte rätt tror jag. Kanske det blir bara 6lg(x) = 6*t^2 tror jag.

Nej om 6*lg(x) = 6*t^2 så måste ju lg(x) vara lika med t^2 och inte t.

-----------------------------

Sedan tror jag att du blandar ihop lg(x^6) med (lg(x))^6.

6*lg(x) kan skrivas som lg(x^6) om man vill, men inte som (lg(x))^6

lg(x^6) betyder lg(x*x*x*x*x*x)
(lg(x))^6 betyder lg(x)*lg(x)*lg(x)*lg(x)*lg(x)*lg(x)

-------------

Men du behöver inte skriva om 6*lg(x) alls.

Termen i ekvationen är 6*lg(x)

Om du nu byter ut lg(x) mot t så blir termen helt enkelt 6*t.

Är du med på det?

Ja jag tänkte så.

Så det blir t^2-t6 =16 menar du. Sen kan man använda kvadratkomplettering.

mask134 skrev:
Ja jag tänkte så.
Så det blir t^2-t6 =16 menar du. Sen kan man använda kvadratkomplettering.

Ja det stämmer. Du har nu en vanlig andragradsekvation i $t$ som du löser på valfritt sätt, vilket ger dig lösningarna $t_1$ och $t_2$ .

Efter det så byter du tillbaka till $x$ , dvs sätt upp och lös ekvationerna

$lg(x_1)=t_1$

$lg(x_2)=t_2$

Det kan då vara så att endast en lösning är giltig, och det har i så fall med värdemängden för logaritmfunktionen att göra.

Ok. Jag räknade igår och fått svaret t1 =-2 eller t2 =8. Sen hur byter jag tillbaka till lg.

mask134 skrev:
Ok. Jag räknade igår och fått svaret t1 =-2 eller t2 =8. Sen hur byter jag tillbaka till lg.

Har du läst mitt senaste svar? Där står det.

Sen hur kontrollerar jag om det blir 16 på båda leden.

Menar du att det finns en falsk rot som är t1= -2 och att på logaritmen är bara positiv.

mask134 skrev:
Sen hur kontrollerar jag om det blir 16 på båda leden.

Det hoppas jag att du redan har gjort?

Dvs du har väl redan kontrollerat att $8^2-6\cdot8$ är lika med 16 och att $(-2)^2-6\cdot (-2)$ är lika med 16?

Om inte - gör det innan du fortsätter.

Annars är det stor risk att du fortsätter att räkna med ett felaktigt delresultat.

mask134 skrev:
Menar du att det finns en falsk rot som är t1= -2 och att på logaritmen är bara positiv.

Jag säger inte att det är så, jag säger att det kan vara så.

Vet du vad funktionen lg(x) har för värdemängd, dvs vilka värden lg(x) kan anta?

Kan lg(x) till exempel vara ett negativt tal?

Jag tror att lg(x) kan inte vara negativa bara positiva.

Med att om man har lg(-2), då får jag error på räknare, men för lg(8) =0,9030....

mask134 skrev:
Jag tror att lg(x) kan inte vara negativa bara positiva.
Med att om man har lg(-2), då får jag error på räknare, men för lg(8) =0,9030....

Frågan var om lg(x) kan vara negativ, inte om x får vara negativ.

mask134 skrev:
Jag tror att lg(x) kan inte vara negativa bara positiva.
Med att om man har lg(-2), då får jag error på räknare, men för lg(8) =0,9030....

Du måste skilja på $x$ och på $lg(x)$ .

Det är inte $x$ som ska vara -2, det är $lg(x)$ som ska vara -2, dvs ekvationen du ska lösa är $lg(x_1)=-2$ .

Den andra ekvationen du ska lösa är $lg(x_2)=8$ .

--------

Om funktionen lg(x) kan vara negativ eller inte:

Slå lg(0,5) på räknaren. Vad blir det?

Slå lg(0,000000001) på räknaren. Vad blir det?

Kan lg(x) vara ett negativt tal eller inte?

------

Om argumentet x till lg(x) kan vara negativt eller inte:

Slå lg(-2) på räknaren. Det ger ERROR.

Slå lg(0) på räknaren. Det ger ERROR.

Du ser att argumentet till lg inte kan vara ett negativt tal, inte heller 0. Vi säger att definitionsmängden till lg(x) är alla positiva tal x, dvs alla x>0.

------------

Känner du till begreppen definitionsmängd och värdemängd?

Ja jag känner igen definitionsmängd och värdemängd, men jag vill inte att ta reda på definitionsmängd och värdemängd bara att lös ekvationen som jag har nämnt i tråden.

mask134 skrev:
Ja jag känner igen definitionsmängd och värdemängd, men jag vill inte att ta reda på definitionsmängd och värdemängd bara att lös ekvationen som jag har nämnt i tråden.

Ja då ska du lösa de två ekvationer som jag beskrev i mitt förra svar.

Och hur gör man det. Jag fattar inte. Vilken ekvation. Det finns bara en ekvation och det som jag har skrivit och det är: Lös ekvationen (lg𝑥)^2 − 6lg𝑥 = 16. Inte det här lg(x2)=8lg(x2)=8. eller lg(x1)=−2lg(x1)=-2.

Du gör nya ekvationer som inte ingår som jag har skrivit.

Jag har fått det riktiga svaret och det är x1 =1/100 för -2 och x2 = 10^8. Är det rätt?

Det jag gjorde för att få 1/100 är att jag använde potenslagen som säger a^-x = 1/a^x. Det är 10^-2 = 1/10^2= 1/100 = 0,01.

För lg(x2) = 8 så det är någonting som blir 8 och det är 10^8 eller mer 100 000 000.

mask134 skrev:
Och hur gör man det. Jag fattar inte. Vilken ekvation. Det finns bara en ekvation och det som jag har skrivit och det är: Lös ekvationen (lg𝑥)^2 − 6lg𝑥 = 16. Inte det här lg(x2)=8lg(x2)=8. eller lg(x1)=−2lg(x1)=-2.

Ja det finns bara en ekvation i ursprungsuppgiften.

Men den är ganska komplicerad och inte så lätt att lösa direkt.

Därför visade jag dig en lösningsmetod som kallas variabelsubstitution, där du byter ut (i detta fallet) det "krångliga" lg(x) mot en annan "enklare" variabel t. Detta är ett standardknep som är bra att lära sig.

Då får du en ekvation i t som är enklare att lösa, nämligen en helt vanlig andragradsekvation.

När du har löst denna enkla ekvation så har du fått reda på vilka värden på t som gör att ekvationen är uppfylld.

Då byter du tillbaka från t till lg(x). Det är där du får två enklare ekvationer att lösa, en för varje möjligt värde på t.

Så de två ekvationer jag visade dig är ett mellansteg på vägen till lösningen av din ursprungliga ekvation.

Jag har inte svävat ut och bort från din uppgift.

---------------

Men du behöver inte använda variabelsubstitution för att lösa din ursprungsekvation.

Du kan istället om du vill lösa ekvationen direkt:

$(lg(x))^2-6lg(x)=16$

Subtrahera 16 från båda sidor:

$(lg(x))^2-6lg(x)-16=0$

Detta är en andragradsekvation, där den obekanta storheten är $lg(x)$ . <--- OBS, detta kan kännas lite konstigt, men det är helt OK att göra på det viset.

Använd pq-formeln (eller kvadratkomplettera):

$lg(x)=3\pm\sqrt{3^2+16}$

$lg(x)=3\pm5$

$(lg(x))_1=8$

$(lg(x))_2=-2$

-------------

Den ena lösningen får vi nu om vi löser ekvationen $lg(x)=8$ :

Ta 10 upphöjt till VL och 10 upphöjt till HL:

$10^{lg(x)}=10^8$

Förenkla VL:

$x=10^8$

----------------

Den andra lösningen får vi nu om vi löser ekvationen $lg(x)=-2$ :

Ta 10 upphöjt till VL och 10 upphöjt till HL:

$10^lg(x)=10^{-2}$

Förenkla VL:

$x=10^{-2}$

-----------------

Nu överlåter jag åt dig att kontrollera ifall båda dessa lösningar (dvs $x=10^8$ och $x=-2$ ) är korrekta.

Visa gärna och berätta vad du kommer fram till.

mask,134, du vet väl att du kan redigera ditt inlägg (inom 2 timmar) så att du lipper spamma tråden på det hrä sättet? /moderator

Jag är nu med svaret det är korrekt svar och tack.

mask134 skrev:
Jag är nu med svaret det är korrekt svar och tack.

OK vad bra.

Hängde du med på lösningsmetoden/lösningsmetoderna?

Tror du att du skulle kunna lösa ett liknande problem på egen hand nu?