Lösa komplext tal x^3

Att konstatera att en rot är 2 är inte svårt. Du är väl med på det? Undrar du hur man kan komma fram till det? 

Låter kanske dumt men har inget minne av hur jag ska kunna se det.

Matteuppgiftskonstruktörer brukar inte vara fullständiga sadister. De brukar välja att göra en ekvation där någon rot är lätt att gissa. Börja med att undersöka om x=0 är en lösning (det är den inte, det ser man snabbt eftersom konstanttermen inte är 0). Undersök om x=1 eller x=-1 är lösningar. Undersök om x=2 eller x=-2 är lösningar. Bingo!

Man kan prova sig med små tal. Man vet dessutom att i en ekvation med reella heltalskoefficienter så är de reella rötterna faktorer i den konstanta termen, alltså 12. Så plus minus 1, 2 ellet 3 är allt man behöver kolla. 

Ja, tack.

Ska jag då göra såhär?

(z-(2+i))(z-(2-i))?

Om du vill kolla att z=2 är en lösning så sätter du in att z=2 i ekvationen och kollar att VL blir lika med 0.

Nästa steg är att göra en polynomdivision. Vet du hur du gör detta?

ja jag vet hur man gör det. ska jag endast göra polynomdivision med 2? 

Amanda9988 skrev:

ja jag vet hur man gör det. ska jag endast göra polynomdivision med 2? 

Nej, med faktorn $z-2$.

$z^2-4z+4?$

Amanda9988 skrev:

$z^2-4z+4?$

Vad är det här? Det är i alla fall inte kvoten man får när man dividerar z³-2z²+6z-12 med z-2.

nej, jag trodde det var det jag skulle använda när jag gör polynomdivisionen. 

Om jag polynomdividerar med z-1 får jag $$\begin{gathered} z^2+6 \\ och får att z= \pm \sqrt{6}i ? \end{gathered}$$

Men (z-1)(z²+6)=z³-z²+6z-6 och inte alls det uttryck du vill att det skall bli - och du skall dividera med z-2, eftersom det är z=2 som är en rot till polynomet.

Vet du hur men gör när man utför en polynomdivision? Det verkar som om du bara gissar några faktorer med z i och hoppas att de skall bli rätt på något magiskt sätt.

Hej!

Om man stirrar tillräckligt länge på ekvationen kanske man noterar följande mönster:

    $z^3-2z^2+6z-12 = z^2(z-2) + 6(z-2).$ 

Från detta får man direkt att den givna ekvationen är uppfylld av alla komplexa tal som uppfyller någon av de två ekvationerna $z-2 = 0$ eller $z^2+6=0.$

Smaragdalena skrev:

Men (z-1)(z²+6)=z³-z²+6z-6 och inte alls det uttryck du vill att det skall bli - och du skall dividera med z-2, eftersom det är z=2 som är en rot till polynomet.

Vet du hur men gör när man utför en polynomdivision? Det verkar som om du bara gissar några faktorer med z i och hoppas att de skall bli rätt på något magiskt sätt.

Jag skrev fel, jag menade z-2. Ja, jag vet hur man utför en polynomdivision och jag gissar inte faktorer. Du behöver inte vara otrevlig på något vis, jag är här för att jag behöver hjälp och antar att du som moderator ska hjälpa och inte påpeka om någon är osäker, gissar eller ha några föruppfattade meningar. 

Jag kan vända mig på andra ställen om jag behöver hjälp om mitt sätt på att fråga om hjälp skulle vara påvisande på osäkerhet. 

Albiki skrev:

Hej!

Om man stirrar tillräckligt länge på ekvationen kanske man noterar följande mönster:

    $z^3-2z^2+6z-12 = z^2(z-2) + 6(z-2).$ 

Från detta får man direkt att den givna ekvationen är uppfylld av alla komplexa tal som uppfyller någon av de två ekvationerna $z-2 = 0$ eller $z^2+6=0.$

Tack så mycket för förklaringen, så slipper man testa =)

Om du visar hur du har gjort (som det står i Plugganutens regler att du skall)  i stället för att bara slänga fram svaret så äe det lättare att hänga med. Den här gången ser det ut om det var jag som gissade fel som trodde att det var du som gissade. /moderator