Lösning av differentialekvation

Den primitiva funktionen för 1/x^2 är -1/x. Blir det rätt då? 

Vänta kan du skriva ut hela primitiva funktionen?

Hej!

Innan du dividerar med $x$ måste du förutsätta att du inte dividerar med noll.

• Om $x=0$ så säger ekvationen att $-y(0) = 1$, så den lösning som du beräknar gäller när $x\neq 0$ och då $x=0$ är lösningen definierad att vara $y(0) = -1.$

Under förutsättning att $x\neq 0$ så är din differentialekvation densamma som

    $y'(x)-\frac{1}{x}y(x)=-x+5+\frac{1}{x}$

vars integrerande faktor är $e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$. Multiplikation av differentialekvationen med denna faktor ger ekvationen

    $(\frac{1}{x}\cdot y(x))^{\prime}=-1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}$.

Integrering ger funktionerna 

    $\frac{1}{x}\cdot y(x) = C-x + 5\ln |x|-\frac{1}{x}\iff y(x) = 5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad x\neq 0$

där $C$ betecknar en godtycklig konstant.

Resultatet är alltså 

    $y(x) = \left\{\begin{matrix}5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad &x\neq 0\ ,\\-1\ , \quad &x=0.\end{matrix}\right.$

hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

hejsansvejsantja skrev:

hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

Symbolen $C$ betecknar inte samma konstant i de två fallen.