Mafy 2009 uppgift 28 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Det måste gälla att:

$|3\sin \alpha|<= 3\Rightarrow$
...

tomast80 skrev:
Det måste gälla att:

$|3\sin \alpha|<= 3\Rightarrow$
...

Hänger ej med..

tomast80 skrev:
Det måste gälla att:

$|3\sin \alpha|<= 3\Rightarrow$
...

Nu vet jag ej om du menar att 3sinalfa kan ha 2 vinklar nämligen x1 =... Och x2=180-v1?

Är du med på att värdemängden för funktionen y = sin(x) är $-1\le x\le1$ ?

Smaragdalena skrev:
Är du med på att värdemängden för funktionen y = sin(x) är $-1\le x\le1$ ?

Ja. Jaha så då är värdemängden för sinalfa - 3<=y<=3?

Ja. Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:
Ja. Kommer du vidare?

Inte riktigt. Men jag funderar nu på om jag bör sätta y= - 3 och 3 för att se vad n kan ha för värde och välja det minsta.

Att lösa de båda ekvationerna är en bra idé. Du kan även lösa t ex ekvationen 0 = HL för att se om den har en lösning eller inte (så att du vet om det är mellan gränserna eller utanför gränserna som är OK).

Smaragdalena skrev:
Att lösa de båda ekvationerna är en bra idé. Du kan även lösa t ex ekvationen 0 = HL för att se om den har en lösning eller inte (så att du vet om det är mellan gränserna eller utanför gränserna som är OK).

Ok

Du kan tillämpa faktumet att -1<=sin(a)<=1, detta ger dig ett intervall vilket efter lite omkastning tillåter instoppning, sedan prövar du dig bara fram och kollar om värdena ligger inom intervallet. Så här löste jag den, jag hoppas att det hjälper!

Christ.E skrev:
Du kan tillämpa faktumet att -1<=sin(a)<=1, detta ger dig ett intervall vilket efter lite omkastning tillåter instoppning, sedan prövar du dig bara fram och kollar om värdena ligger inom intervallet. Så här löste jag den, jag hoppas att det hjälper!

Jag förstår ej riktigt din lösning tyvärr. Men tack ändå!

sin(v) är minst -1, högst 1.

3*sin(Något) är minst -3, högst 3. Är du med så långt?

n²+6n+2 blir ganska stora värden för de flesta heltal n. Man kan prova sig fram och hitta heltal så att uttrycket blir -3 eller 3 eller något däremellan.

Annars kan man försöka klura ut ett sätt att räkna fram ett sådant heltal direkt.

Bubo skrev:
sin(v) är minst -1, högst 1.

3*sin(Något) är minst -3, högst 3. Är du med så långt?

n²+6n+2 blir ganska stora värden för de flesta heltal n. Man kan prova sig fram och hitta heltal så att uttrycket blir -3 eller 3 eller något däremellan.

Annars kan man försöka klura ut ett sätt att räkna fram ett sådant heltal direkt.

Hm jag har fortfarande kört fast och vet ej hur man kommer ut. Jag fick två värden på n med hjälp av pq formeln när jag satte uttrycktet till höger lika med noll.

Jag fick n1 = - 3+roten ur 7, n2 =-1, n3 = - 3+roten ur 10. Det är dessa som ligger mellan - -3<=sinalfa<=3

då n^2+6n+2=0

Fick jag ut två st rötter dvs n= - 3+roten ur 7 och n= - 3-roten ur 7

då - 3=n^2+6n+2 körde jag pq formeln vilket ger mig n= - 1 och n= - 5

då 3= n^2+6n+2 körde jag med pq formeln och det ger mig n= - 3+roten ur 10 och n= - 3-roten ur 10

Mahiya, problemet här är att det minsta värdet på n inte infaller vid sin(a)=-1 eller sin(a)=1 utan istället vid sin(a)=2/3, pröva att stoppa in n=-6 i HL så ser du det. Den här uppgiften löses enklast genom att ta intervallet för de möjliga värdena på sinus och att sedan pröva värden för n.

Christ.E skrev:
Mahiya, problemet här är att det minsta värdet på n inte infaller vid sin(a)=-1 eller sin(a)=1 utan istället vid sin(a)=2/3, pröva att stoppa in n=-6 i HL så ser du det. Den här uppgiften löses enklast genom att ta intervallet för de möjliga värdena på sinus och att sedan pröva värden för n.

Jag hänger verkligen ej med. Hur kommer man på ens n=6? Jag fick ut ganska många rötter.. Jag får ta upp denna fråga med någon volontär idag på räknestuga så att jag kan bygga upp en bättre förståelse istället och diskutera. Jag tror ej jag fattar logiken bakom hela den uppgiften. Alla säger olika på detta forum vilket gör det svårt för mig att komma nånstans

Mahiya, du ska inte använda PQ-formlen det är det som är problemet.

Vi har 3sin(a)=n^2+6n+2, flytta över trean til HL så får du sin(a)=(n^2+6n+2)/3, sedan kan högerled ha ett värde mellan -1 och 1, det get -1<=(n^2+6n+2)/3<=1 vi skriver om detta för att förenkla eventuell prövning:

-1<=(n^2+6n+2)/3<=1

-3<=n^2+6n+2<=3

-3-2<=n^2+6n<=3-2

-5<=n^2+6n<=1

Detta skriver vi till sist om till:

-5<=n(n+6)<=1

Nu gäller det bara att stoppa in olika heltalsvärden på n tills du får det minsta möjliga värdet på på n inom intervallet (dock inte necessärt det minsta för n(n+6)!). Pröva sedan att stoppa in olika värden, exempelvis n=-10 ger -40 som ligger utanför intervallet. Vi prövar med något större; n=-5 ger -5 DOCK ser vi att n=-6 ger ett värde som faller inom intervallet och även fastän det ger 0 som är större än -5. Om vi sätter in något mindre n-värde, exempelvis n=-7 fås -7(-7+6)=7</=1 därför är n=-6 den minsta lösningen.

Jag medger att det är en lurig uppgift, jag satt kanske 30 minuter med den och försökte gång på gång med pq-formeln och kvadratkomplettering under förmodan att jag gjort något fel.

Christ.E skrev:
Mahiya, du ska inte använda PQ-formlen det är det som är problemet.

Vi har 3sin(a)=n^2+6n+2, flytta över trean til HL så får du sin(a)=(n^2+6n+2)/3, sedan kan högerled ha ett värde mellan -1 och 1, det get -1<=(n^2+6n+2)/3<=1 vi skriver om detta för att förenkla eventuell prövning:

-1<=(n^2+6n+2)/3<=1

-3<=n^2+6n+2<=3

-3-2<=n^2+6n<=3-2

-5<=n^2+6n<=1

Detta skriver vi till sist om till:

-5<=n(n+6)<=1

Nu gäller det bara att stoppa in olika heltalsvärden på n tills du får det minsta möjliga värdet på på n inom intervallet (dock inte necessärt det minsta för n(n+6)!). Pröva sedan att stoppa in olika värden, exempelvis n=-10 ger -40 som ligger utanför intervallet. Vi prövar med något större; n=-5 ger -5 DOCK ser vi att n=-6 ger ett värde som faller inom intervallet och även fastän det ger 0 som är större än -5. Om vi sätter in något mindre n-värde, exempelvis n=-7 fås -7(-7+6)=7</=1 därför är n=-6 den minsta lösningen.

Jag medger att det är en lurig uppgift, jag satt kanske 30 minuter med den och försökte gång på gång med pq-formeln och kvadratkomplettering under förmodan att jag gjort något fel.

Jag försökte prova med n=-2 n=-1 men det blir ej rätt. För alla värden större än 1 och - 5 funkar ej med intervallet, men så fort vi kommer till värden mindre än - 5 så funkar endast då x= - 6, och det är enda som uppfyller intervallet. Jag förstår nog nu.

Annars ger n=-1 ett värde inom intervallet, vi får -1(-1+6)=-5<=-5, tänk på att det inte är värden på n som ska ligga inom intervallet utan istället värden på n(n+6).

Christ.E skrev:
Annars ger n=-1 ett värde inom intervallet, vi får -1(-1+6)=-5<=-5, tänk på att det inte är värden på n som ska ligga inom intervallet utan istället värden på n(n+6).

Hm okej men de värden vi prövade gav oss ej mycket heller, hur menar du att vi ska tänka på n(n+6)?

Det finns en lösning med PQ-formeln också, om det kan vara till någon hjälp.

3sin a = $n^{2} + 6 n + 2$ kan skrivas som:
$n^{2} + 6 n + 2 - 3 \sin a = 0$

Det ger uttrycket nedan eftersom 2-3sin a ovan kan betraktas som q i pq-formeln:
n = -3 - $\sqrt{9 - 2 + 3 \sin a}$ (eftersom man ska hitta minsta heltal hoppar jag över alternativet + innan rottecknet.

n = -3 - $\sqrt{7 + 3 \sin a}$

n ska vara ett heltal, alltså måste uttrycket i rottecknet bli ett heltal.
sin a kan variera från -1 till 1, vilket betyder att 3sin a kan variera från -3 till 3.
3sin a = -3 ger rotuttrycket $\sqrt{7 - 3}$ = $\sqrt{4}$ = 2 vilket ger n = -3-2, alltså n = -5.
3sin a = -2, -1, 0, 1 ger inget heltal i rotuttrycket
3sin a = 2 ger rotuttrycket $\sqrt{7 + 2}$ = $\sqrt{9}$ = 3 vilket ger n=-3-3 alltså n = -6.
3sin a = 3 ger inte heller heltal i rotuttrycket

Minsta värdet på n är alltså -6 (eftersom n är ett heltal).

Mahiya99 skrev:
Christ.E skrev:
Annars ger n=-1 ett värde inom intervallet, vi får -1(-1+6)=-5<=-5, tänk på att det inte är värden på n som ska ligga inom intervallet utan istället värden på n(n+6).

Hm okej men de värden vi prövade gav oss ej mycket heller, hur menar du att vi ska tänka på n(n+6)?

Jag menar att det är n(n+6) som ska ligga mellan -5 och 1, men n måste inte göra det. Du hade sagt att n=-1 inte går, men det gör den, den ger bara inte det minsta värdet på n.

Sten skrev:
Det finns en lösning med PQ-formeln också, om det kan vara till någon hjälp.

3sin a = $n^{2} + 6 n + 2$ kan skrivas som:
$n^{2} + 6 n + 2 - 3 \sin a = 0$

Det ger uttrycket nedan eftersom 2-3sin a ovan kan betraktas som q i pq-formeln:
n = -3 - $\sqrt{9 - 2 + 3 \sin a}$ (eftersom man ska hitta minsta heltal hoppar jag över alternativet + innan rottecknet.

n = -3 - $\sqrt{7 + 3 \sin a}$

n ska vara ett heltal, alltså måste uttrycket i rottecknet bli ett heltal.
sin a kan variera från -1 till 1, vilket betyder att 3sin a kan variera från -3 till 3.
3sin a = -3 ger rotuttrycket $\sqrt{7 - 3}$ = $\sqrt{4}$ = 2 vilket ger n = -3-2, alltså n = -5.
3sin a = -2, -1, 0, 1 ger inget heltal i rotuttrycket
3sin a = 2 ger rotuttrycket $\sqrt{7 + 2}$ = $\sqrt{9}$ = 3 vilket ger n=-3-3 alltså n = -6.
3sin a = 3 ger inte heller heltal i rotuttrycket

Minsta värdet på n är alltså -6 (eftersom n är ett heltal).

Snygg lösning!

Christ.E skrev:
Mahiya99 skrev:
Christ.E skrev:
Annars ger n=-1 ett värde inom intervallet, vi får -1(-1+6)=-5<=-5, tänk på att det inte är värden på n som ska ligga inom intervallet utan istället värden på n(n+6).

Hm okej men de värden vi prövade gav oss ej mycket heller, hur menar du att vi ska tänka på n(n+6)?

Jag menar att det är n(n+6) som ska ligga mellan -5 och 1, men n måste inte göra det. Du hade sagt att n=-1 inte går, men det gör den, den ger bara inte det minsta värdet på n.

Hm jag är ej säker på vad du menar. Men jag följer sten lösning istället!