MAFY 2015 Uppgift 29

Du vet sidlängderna och kan nog få till sinus av mellanliggande vinkel uttryckt i a och b. 

Dr. G skrev:

Du vet sidlängderna och kan nog få till sinus av mellanliggande vinkel uttryckt i a och b. 

Men jag vet ju inte vinkel A mellan sidorna TA och AP, samt vinkel B mellan BS och BQ

Så här då?

A + B = 90°. Sedan finns det tre (varav två markerade) räta vinklar vid B, vilket gör att den markerade vinkeln måste vara A. 

Ja, vinklarna är jag medveten om det är steget efter som jag inte riktigt kan finna, tex areasatsen hjälper mig inte.

möjligtvis $\frac{ab}{2}$

När jag sedan multiplicerar det på 2 och sedan adderar uttrycket för de gröna med resten, får jag rätt svar.

Arean av den gröna biten i mitt tidigare inlägg är 

$\dfrac{1}{2}ac\sin(A+90^{\circ})=\dfrac{1}{2}ac\cos(A)$

där

$\cos(A) = \dfrac{b}{c}$

och sambandet mellan a, b och c är känt. 

Medan areasatsen och trigonometri är den mekaniska metoden för att visa att mittentriangeln och den gröna triangeln är lika så är detta något som man formellt kan göra med grundskolemetoder. Man får bara nyttja att areaformeln höjd * bas / 2 = area implicerar att om två trianglar har samma baser och höjder, även om de har olika former, måste ha samma areor.

Du har redan råkat rita den relevanta triangeln i ditt diagram.

En annan metod är att rama in figuren i en rektangel och ta differensen av stora rektangeln och arean hos de rätvinkliga bitarna i hörnen.

Finns säkert ett dissektionsbevis också (ett där man delar upp och flyttar runt bitarna till en triangel eller rektangel) men har inte hittat det än.