Mekanik : Masscentrum och jämvikt

Jag läser mekanik kursen och har fastnat på de uppgifterna. 

Jag vet att det här inlägg kan vara lite för lång, men för tydlighet.

1.

 

a) Enligt figur 1 ser man ju att figuren har en symmetri, vilket innebär att masscentrum/tyngdpunkten ligger i symmetri planen (X-led), men är faktiskt osäker om hur ska man bestämma exakta värde.

Vad jag gjorde är att hitta de area för:

Rektangel = $A_1$= $4a\times 4a =16a^2$

Cirkel =$A_2$= $a^2\times \mathrm{\pi }$

Halv cirkel =$A_3=\frac{{\left(2a\right)}^2\times \mathrm{\pi }}{2}=2a^2\mathrm{\pi }$

Tyngdpunkt :

Rektangel $X_1$= 2a

Cirkel  $X_2$= 4a

halvcirkel $X_3$= $\frac{4R}{3\mathrm{\pi }}, R = 2a \leftrightarrow \frac{8a}{3\mathrm{\pi }}$, men eftersom en halvcirkel ligger ju lite på höger (4a).

Detta gör ju att tyngdpunkt på halvcirkel är  $\frac{8a}{3\mathrm{\pi }}+4a = \frac{8a+12a\mathrm{\pi }}{3\mathrm{\pi }}$

Då är masscentrum i x-led är 

$x= \frac{A_1{X}_1-A_2{X}_2+A_3{X}_3}{A_1-A_2+A_3} =\frac{112a+12a\mathrm{\pi }}{48+3\mathrm{\pi }}$

b)Friläggning

A B C D E är punkter

M är momentskraft

x = $\frac{112a+12a\mathrm{\pi }}{48+3\mathrm{\pi }}$(från a uppgift)

Jämviktekvation 

$$\begin{gathered} \uparrow = Ry +S\times \cos \left(\alpha \right)-mg = 0 \leftrightarrow Ry =mg -S\times \cos \left(\alpha \right) \\ \to = Rx-S\times \sin \left(\alpha \right) = 0 \leftrightarrow Rx =S\times \sin \left(\alpha \right) \\ {M}_A = mg\times x - S\times \cos \left(\alpha \right)\times 4a=0 \leftrightarrow S =\frac{mg\times x}{4a\times \cos \left(\alpha \right)} \\ {R}^2= R{y}^2+R{x}^2 \end{gathered}$$

 

Först löste jag ut S och fick

 $S= \frac{\sqrt{2}mg(28+3\mathrm{\pi })}{48+3\mathrm{\pi }}$

$Rx =\frac{mg(28+3\mathrm{\pi })}{48+3\mathrm{\pi }}$

$Ry= mg(1-\frac{28+3\mathrm{\pi }}{48+3\mathrm{\pi }})$

Uppgift 2 och 3 vet jag faktiskt inte hur ska man göra.

Något som kan hjälpa? Tack så mycket