Mekanik: rörelseenergins två delar

Det borde gå lika bra att göra som du gör. De utnyttjar att C är momentancentrum, så att den kinetiska energin kan uttryckas mha  bara I_C. 

Jodå, det blev samma (får använda att omega=vg/r)!

Men jag förstår inte, har olika punkter i kroppen verkligen olika rörelseenergi? Uppenbarligen ja. Jag vet att olika punkter i kroppen har olika hastighet, men i sambandet $T=\frac{1}{2}mv_G^2+\frac{1}{2}I_G\omega^2$ har man alltså i själva verket integrerat upp alla bidrag?

Ja precis. Du kan använda tvåpunktsformeln. ${\overrightarrow{v}}_B$ = ${\overrightarrow{v}}_A + \overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{AB}$, och se vad som händer om A = G eller A = C = momentancentrum. Man får summera/integrera över alla B (punkter i kroppen) förstås.

Men när det står T=1/2I_C*omega^2, syftar det på C:s rotationsenergi kring G eller C:s rotationsenergi kring sig själv? Kan en punkt rotera?

Nej, det är energin hos hela kroppen, som du får genom integrering eller summering över all punkter i kroppen med utnyttjande av att hastigheten hos momentancentrum är noll. Gör det som övning. En punkt har inte någon rotationsenergi per se, den har ju ingen utsträckning, så hur skulle den kunna rotera. Sedan finns ju det där med spinn i kvantmekaniken, men det är tydligen fel att tolka det som resultatet av en rotation, enligt experterna.

Du menar att det är hela kroppens energi, men som kan räknas ut med avseende godtycklig punkt, och då ändras vilket v man tar och vilket I man tar (inte omega, och såklart inte m).

Ja, precis, fast man får väl speciellt enkla formler om man tar just G eller C.

Ja (annars med parallellförflyttningssatsen för momenttröghet och hastighetssamband mellan C och annan punkt borde det inte bli så mycket krångligare, men vem vill det haha)