Mekanik Stela kroppens 2D dynamik

Vet absolut inte om det är den smidigaste lösningen, men jag fick ut $\dot\theta(\theta)$ genom att ställa upp energibevarandeekvationen, precis som du föreslår. Den kinetiska energin blir lite småstökig, men positionen för en punkt på stången kan skrivas som mittpunktens position jämfört med utgångsläget plus punktens position relativt mittpunkten: $x(\rho)=r\theta+\rho\cos(\theta), y(\rho)=-\rho\sin(\theta)$, där $\rho$ är avståndet från mittpunkten till punkten. Deriverar man det för att få hastigheten, så kan man integrera upp den kinetiska energin längs stången.

För att ta fram normalkraften skulle jag nog behöva klura lite till, men antagligen kan man integrera upp centripetalkraften för stången givet den vinkelhastighet som du kommit fram till.

haraldfreij skrev:

Vet absolut inte om det är den smidigaste lösningen, men jag fick ut $\dot\theta(\theta)$ genom att ställa upp energibevarandeekvationen, precis som du föreslår. Den kinetiska energin blir lite småstökig, men positionen för en punkt på stången kan skrivas som mittpunktens position jämfört med utgångsläget plus punktens position relativt mittpunkten: $x(\rho)=r\theta+\rho\cos(\theta), y(\rho)=-\rho\sin(\theta)$, där $\rho$ är avståndet från mittpunkten till punkten. Deriverar man det för att få hastigheten, så kan man integrera upp den kinetiska energin längs stången.

För att ta fram normalkraften skulle jag nog behöva klura lite till, men antagligen kan man integrera upp centripetalkraften för stången givet den vinkelhastighet som du kommit fram till.

Men beror då positionen i x och y led av 2 variabler rå och theta? isåfall blir väl deriveringen och integreringen jobbig eller är jag ute och cyklar.

Det finurliga är att du bara behöver variera en av variablerna i taget. När du ska ta fram hastigheten för en punkt på stången så är $\rho$ konstant, så $\dot x(\rho,\theta)=\frac{dx}{d\theta}\dot\theta$. Och när du ska integrera upp energin i ett visst läge så är $\theta$ konstant, så du får $E_k(\theta)=\int\,dE_k =\int_{\rho=0}^r\hat{E_k}(\rho,\theta)\,d\rho=\int_{\rho=0}^r\frac{m(\dot x(\rho,\theta)^2+\dot y(\rho,\theta)^2)}{2r}\,d\rho$.

haraldfreij skrev:

Det finurliga är att du bara behöver variera en av variablerna i taget. När du ska ta fram hastigheten för en punkt på stången så är $\rho$ konstant, så $\dot x(\rho,\theta)=\frac{dx}{d\theta}\dot\theta$. Och när du ska integrera upp energin i ett visst läge så är $\theta$ konstant, så du får $E_k(\theta)=\int\,dE_k =\int_{\rho=0}^r\hat{E_k}(\rho,\theta)\,d\rho=\int_{\rho=0}^r(\frac{m}{r}\frac{\dot x(\rho,\theta)}{2}\,d\rho$.

Okej då fattar jag! Men jag antar att jag behöver göra samma för hastigheten i y-led?

Ja, absolut, slarvade när jag skrev. Redigerar så det blir rätt.

haraldfreij skrev:

Ja, absolut, slarvade när jag skrev. Redigerar så det blir rätt.

Hur blir det vid lägesenergin då ifall man använder bevarande av energin. Blir väl ingen integrering då?

Lägesenergin är ju smidigare, eftersom den är linjär i höjden så kan man nöja sig med att kolla på masscentrums höjd. Men känner man sig osäker på om det är OK så är den ju lätt att integrera med.

Hmm, kommer tyvärr fortfarande ingenstans. Använde du energilagen mellan startläge och ett godtyckligt läge för att hitta w? Och vad blev ditt slutgiltiga uttryck för kinetiska energin? Jag får ett uttryck som inte är likt facit.

En del av lägesenergin har övergått till rotations- och translationsenergi

$\frac{1}{2}mgr\sin(\theta)=\frac{1}{2}I_0\omega^2+\frac{1}{2}mv^2$   (1)

Där $v^2$ är masscentrums fart $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$

$v^2=\frac{r^2}{4}\omega^2(5-4\sin(\theta))$    (2) 

Använd (2) för att lös ut $\omega$ ur (1).

För normalkraften kan du utnyttja att $N-mg=\frac{1}{2}mr\omega^2$