7 svar

139 visningar

nteran är nöjd med hjälpen

mer trigonometri

Lös ekvationen sinx=cos2x , jag får:

$L ö s e k v a t i o n e n f ö r x \sin x = - 1 \to x = \frac{3 π}{2} + 2 k π (1) \sin x = \frac{1}{2} \to x = \frac{π}{6} + 2 k π (2) E n l i g t l ö s n i n g f ö r s l a g e t f å r d e m f ö r u t o m l ö s n i n g (1) & (2) ä v e n : x = \frac{5 π}{6} + 2 k π (3) H i t t a u n i o n e n L ö s n i n g : x = \frac{π}{6} + 2 k π J a g s k u l l e k o m m a f r a m t i l l s a m m a s v a r m e n . . .$

Jag har dessa anteckningar i mitt häfte, som jag förstått så använder man dessa samband till uppgifter som den ovan. Jag ser att lösning (3) fås av vinkeln pi/6 från lösning (2) & av det gröna sambandet sin(pi - t)=sin t. Min fråga är varför används inte även det andra sambandet sin(t+2pi)=sint. Samt varför används inte dessa två samband för vinkeln från ekv (1)? När vet man liksom vilka samband är relevanta att använda?

Jag skulle skrivit

$\cos 2x=\sin x=\cos (\frac{\pi}{2}-x)\Rightarrow$
$2x=\pm (\frac{\pi}{2}-x)+n\cdot 2\pi$
...

Sambandet sin(t+2pi) = sin(t) finns redan med i båda lösningarna iom att du anger periodiciteten +2k\pi.

Sambandet sin(pi-t) = sin(t) finns redan med i lösning 1, även här iom att du anger periodiciteten +2kpi. Detta eftersom pi-3pi/2 = -pi/2, en lösning du får ut av k = -1.

Ett bra tips här är att använda enhetscirkeln för att visualisera lösningarna.

=========

Jag ser inte hur du har löst ekvationen, men om du inte använt formeln för dubbla vinkeln så kan det vara ett tips: cos(2x) = 1-2sin²(x), ger dig ekvationen sin(x) = 1-2sin²(x) att lösa med kvadratkompmettering eller pq-formeln.

Jag kan lösa själva ekv med dubbla vinkeln o så, tog bara inte med det. Det är dem där sambanden jag har nedskrivna och k som jag fortfarande inte förstår. Känner inte att boken hjälper mycket heller för det här.

Har du nån tips vad jag kan googla på för att få mer info om sånt här?

Vi börjar med sambanden.

Förstår du att sambanden gäller?
Förstår du varför sambanden gäller?
Förstår du hur du ska använda sambanden för att hitta fler lösningar till de trigonometriska ekvationerna?

================

Sedan tar vi det där med k.

Är du med på att de trigonometriska funktionerna är periodiska, dvs att deras värden upprepas med jämna intervall?

T ex. sinusfunktionen har en period på 2pi. Det betyder t.ex. att sin(0) = sin(2pi) = sin(4pi) o s.v.

Men även att t.ex. sin(0) = sin(-2pi) = sin(-4pi) o.s.v.

Det är detta som det där k beskriver. k betecknar ett heltal som kan vara vilket som helst av 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 o.s.v.

När vi skriver

x = pi/6 + k•2pi

så beskriver vi en oändlig mängd värden, ett för varje val av heltal k.

För k = 0 får vi x = pi/6 + 0•2pi = pi/6
För k = 1 får vi x = pi/6 + 1•2pi = 13pi/6
För k = -1 får vi x = pi/6 - 1•2pi = -11pi/6
För k = 2 får vi x = pi/6 + 2•2pi = 25pi/6
För k = -2 får vi x = pi/6 - 2•2pi = -23pi/6
Och så vidare

Detta hanterar periodiciteten hos sinusfunktionen.

Om du markerar lösningsmängden i enhetscirkeln så blir det förhoppningsvis tydligare.

Om det står "+k•2pi" så motsvarar k = 1 ett extra varv i positiv riktning, k = 2 två extra varv i positiv riktning, k = -1 ett extra varv i negativ riktning o s.v.

1. Ja, för varje sinx jag får fram så finns det två andra vinklar att få fram med hjälp av sambanden

2. Nej

3. Ja, med hjälp av vinkeln jag får fram från att lösa ekvationen för x

Jag förstår inte hur du kan se att ett visst samband redan finns med i lösning (1) & (2). Jag förstår inte hur du kan se vilket värde på k du behöver använda för att få ett visst svar. Jag har sett liknande uppgifter där inget intervall är givet, där man fått en av många lösningar av att sätta k=-1. Men i den här uppgiften behöver jag inte sätta något speciellt k-värde för att få ett ytligare lösning för x utan svaret på lösningen är bara (3). :/

Kan du kanske skriva ett lösningsförslag/hur du resonerar i steg när du ser en ekv. som sinx=cos2x, gärna i punktform.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 k π (1) x = \frac{π}{6} + 2 kπ (2)$

Jag klarar mig på egen hand enda hit. Hur resonerar du härifrån?

(Det här är bara en uppg från kursboken)

OK jag visar steg för steg hur jag skulle lösa uppgiften. Se faktarutan längst ner för dina samband A och B.

Ekvationen är $\sin(x)=\cos(2x)$

Jag skriver om HL med hjälp av formeln för dubbla vinkeln cosinus:

$\sin(x)=1-2\sin^2(x)$

$\sin^2(x)+\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{1}{2}=0$

Pq-formeln:

$\sin(x)=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{2}}$

$\sin(x)=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}}$

$\sin(x)=-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$

Det ger de två ekvationerna

$\sin(x)=\frac{1}{2}$
$\sin(x)=-1$

Första ekvationen: Minnet (eller formelsamlingen) ger mig att $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$ , så $x=\frac{\pi}{6}$ är en lösning.

Med hjälp av enhetscirkeln (eller samband A) ser jag nu att även $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ är en lösning.

Med hjälp av periodiciteten på $2\pi$ (eller samband B) ser jag nu att även $x=\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi$ och $x=\frac{5\pi}{6}+k\cdot2\pi$ är lösningar. Jag har nu löst första ekvationen fullständigt och i den lösningen har jag kunnat använda både samband A och samband B.

Andra ekvationen: Minnet (eller enhetscirkeln) ger mig att $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ , så $x=\frac{3\pi}{2}$ är en lösning.

Med hjälp av enhetscirkeln (eller samband A) ser jag nu att även $x=\pi-\frac{3\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$ är en lösning.

Med hjälp av enhetscirkeln ser jag att dessa båda vinklar pekar ut samma punkt på enhetscirkeln och att vinkelskillnaden dem emellan är $2\pi$ . Alltså sammanfaller de när jag med hjälp av periodiciteten på $2\pi$ (eller samband B) skriver lösningarna som $x=\frac{3\pi}{2}+k\cdot2\pi$ . Jag har nu löst andra ekvationen fullständigt och i den lösningen har jag kunnat använda både samband A och samband B.

======= Faktaruta ========

Samband A: $\sin(\pi-t)=\sin(t)$

Samband B: $\sin(t+2\pi)=\sin(t)$

Tack nu ser jag allt mycket tydligare!!

Svara Avbryt

Visa senaste svar