Nånting som jag är inte med med restsatsen

Om ett polynom, $P(x)$ ger resten 6 när man delar det med $(x-1)$ betyder det att man kan skriva polynomet så här

$P(x)=K(x)\cdot Q(x)+R(x)$

där vi kräver att att $Q(x)$ har högre grad än $R(x)$ samt att $Q(x)\geq 1$.

$K(x)$ för närvarande är okänd, $Q(x)=(x-1)$ och $R(x)=6$.

Alltså kan vi skriva polynomet

$P(x)=K(x)\cdot(x-1)+6$

Sätter vi in $x=1$ får vi

$P(1)=K(x)\cdot (1-1)+6=K(x)\cdot 0+6=6$

Edit: En sak som jag tror kan krångla till det lite för dig är att du kanske förutsätter att det är samma $K(x)$, $Q(x)$ och $R(x)$ i varje representation av $P(x)$, tänk på att de i regel är olika. Alltså om polynomet kan skrivas

$P(x)=K_1(x)(x-x_1)(x-x_2)+R_1(x)$

$P(x)=K_2(x)(x-x_1)+R_2(x)$

Så är i regel $K_1(x)\neq K_2(x)$, $R_1(x)\neq R_2(x)$

Tack Guggle!

Jag tror att jag krånglar där: hur en rest kan vara lika med en resultat?

Så resten är samma sak än p(a)=a?

dajamanté skrev :

Tack Guggle!

Jag tror att jag krånglar där: hur en rest kan vara lika med en resultat?

Så resten är samma sak än p(a)=a?

Jag förstår nog inte din fråga riktigt, men nej, resten är inte lika med resultatet, om $a=1$ så är $P(a)=P(1)=6$ i ditt exempel. Alltså är $P(a)\neq a$.

Däremot gäller att om $p(x)$ ger resten $a$ vid division med $q(x)$ och $q(x_1)=0$ så är $p(x_1)=a$.

(vilket kan vara det du menade :) )

Jag vet inte själv hur jag menade Guggle :(.

Jag tror att jag menade att jag förstår inte koppling mellan resten $p(a)=r$ och $p(a)=resultat$..

Min Linjär Algebra bok ligger på bordet och väntar tills jag öppnar den, men jag har en så skitig mattedag att jag vågar inte läsa något ny.

Eftersom att $p(x) = q(x) \cdot (x-a) + r(x)$ och $r(x)$ har lägre grad än (x-a), så är $r(x)$ konstant.

Alltså, $p(a) = q(a) \cdot (a-a) + r(a)$

Så $p(a) = r(a) = r(x) = R$ vid division med polynom av grad 1. $R$ är en konstant.

pi-streck=en-halv skrev :

Eftersom att $p(x) = q(x) \cdot (x-a) + r(x)$ och $r(x)$ har lägre grad än (x-a), så är $r(x)$ konstant.

Alltså, $p(a) = q(a) \cdot (a-a) + r(a)$

Så $p(a) = r(a) = r(x) = R$ vid division med polynom av grad 1. $R$ är en konstant.

Det kan vara värt att påpeka att vi vid svenska universitet och högskolor (och förmodligen i Dajas kurs) av tradition sätter

$p(x)=k(x)q(x)+r(x)$ där resten $deg\, r(x)<deg\, q(x)$ så att

$\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}$

Bara så det inte uppstår extra förvirring kring det :)

dajamanté skrev :

Jag vet inte själv hur jag menade Guggle :(.

Jag tror att jag menade att jag förstår inte koppling mellan resten $p(a)=r$ och $p(a)=resultat$..

Min Linjär Algebra bok ligger på bordet och väntar tills jag öppnar den, men jag har en så skitig mattedag att jag vågar inte läsa något ny.

Vissa dagar går allt fel och man börjar tvivla på sig själv. Då kan det vara bra att göra något annat en stund. Men om du orkar kan du få en extra övningsuppgift!

Polynomet $p(x)$ har resten $r(x)=12$ när man delar det med polynomet $q(x)=(x-4)$. Alltså kan man skriva polynomet så här $p(x)=k(x)\cdot q(x)+r(x)=k(x)\cdot (x-4)+12$.

Vad är $p(4)$ (sätt in 4 i formeln och se efter!)?

Guggle skrev :

dajamanté skrev :

Jag vet inte själv hur jag menade Guggle :(.

Jag tror att jag menade att jag förstår inte koppling mellan resten p(a)=r p(a)=r och p(a)=resultat p(a)=resultat ..

Min Linjär Algebra bok ligger på bordet och väntar tills jag öppnar den, men jag har en så skitig mattedag att jag vågar inte läsa något ny.

Vissa dagar går allt fel och man börjar tvivla på sig själv. Då kan det vara bra att göra något annat en stund. Men om du orkar kan du få en extra övningsuppgift!

Jo, jag skäms jättemycket för allt tid (+ alla upprepningar) ni behöver lägga för mig  som inte fattar en dugn.

Den värsta är att detta kändes superlätt i matte 4 (för 2 månader sedan)!

Det är kanske dags att kolla om det är sen anmälan till städerska linjen med specialisering diskning eller tvätt.

Polynomet p(x) p(x) har resten r(x)=12 r(x)=12 när man delar det med polynomet q(x)=(x-4) q(x)=(x-4) . Alltså kan man skriva polynomet så här p(x)=k(x)·q(x)+r(x)=k(x)·(x-4)+12 p(x)=k(x)\cdot q(x)+r(x)=k(x)\cdot (x-4)+12 .

Vad är p(4) p(4) (sätt in 4 i formeln och se efter!)?

$p(4)$ måste nog vara 12, eftersom $(x-$ blir noll, dvs att $k(x)\cdot q(x)$ borde försvinna?

dajamanté skrev :

$p(4)$ måste nog vara 12, eftersom $(x-$ blir noll, dvs att $k(x)\cdot q(x)$ borde försvinna?

Jaa, just det! Bra!

När man sätter in 4 behöver man ju inte veta k(x) eftersom vi ska ta k(x) gånger 0. Alltså kan vi veta att p(4)=12. Om du däremot sätter in ett annat tal så kommer k(x) överleva och ställa till problem.

Hej!

Det låter som en direkt tillämpning av Kinesiska restklasssatsen (för polynom).

Du har två kongruenser

    $p(x) \equiv 6 (\text{ mod } (x-1))$

    $p(x) \equiv 7 (\text{ mod } (x-4))\ .$

Kinesiska restklasssatsen säger att det finns ett unikt polynom $p(x)$ modulo $(x-1)(x-4)$ som uppfyller båda dessa kongruenser.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Det låter som en direkt tillämpning av Kinesiska restklasssatsen (för polynom).

Du har två kongruenser

    $p(x) \equiv 6 (\text{ mod } (x-1))$

    $p(x) \equiv 7 (\text{ mod } (x-4))\ .$

Kinesiska restklasssatsen säger att det finns ett unikt polynom $p(x)$ modulo $(x-1)(x-4)$ som uppfyller båda dessa kongruenser.

Albiki

Nämen gud PeBo har suttit så länge för att förklara saken till mig för några veckor sedan!

Jag måste rota i mina svaga minnen, jag återkommer!

@Guggle:

Så... resten av $p(4)$ är lika med $p(4)$ :D?

Albiki skrev :

Hej!

Det låter som en direkt tillämpning av Kinesiska restklasssatsen (för polynom).

Du har två kongruenser

    $p(x) \equiv 6 (\text{ mod } (x-1))$

    $p(x) \equiv 7 (\text{ mod } (x-4))\ .$

Kinesiska restklasssatsen säger att det finns ett unikt polynom $p(x)$ modulo $(x-1)(x-4)$ som uppfyller båda dessa kongruenser.

Albiki

Nu har jag grävt ut: https://www.pluggakuten.se/trad/pebos-moduloraknings-tips/

Vi gick igenom detta regel för tal, inte för polynom.

Hur kan jag gå vidare med 

    $p(x) \equiv 6 (\text{ mod } (x-1))$

    $p(x) \equiv 7 (\text{ mod } (x-4))\$

?