Numeriska metoder: Noggrannhetsordning

Frågan är följande: 

Vi ska lösa begynnelsevärdesproblemet

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(t\right)=f(t, y(t\left)\right) \\ y\left(a\right)=y_0 \end{gathered}$$

Härled en effektiv metod genom att bestämma $\alpha , \beta , \mathrm{och} \gamma$ som har så hög noggrannhetsordning som möjligt. Metoden har formen 

$y_{k+1}=\alpha y_k+\beta y_{k-1}+\gamma hf(t_k, y_k)$

Du kan även anta att $y_1\approx y(a+h)$ är given. Använd ekvidistant diskretisering (...). Vilken noggrannhetsordning har metoden?


Min lösning: Jag kan skriva $y_{k-1}$ som $y(k-h)$, och därifrån kan jag taylorutveckla: $y(k+h)\approx y\left(k\right)-h·y\text{'}\left(k\right)+\frac{1}{2}y\text{'}\text{'}\left(k\right)h^2-\frac{1}{6}y\text{'}\text{'}\text{'}\left(k\right)h^3+\mathcal{O}\left(h^4\right)$

Dessutom kan jag skriva vänsterledets term som $y(k+h)\approx y\left(k\right)+y\text{'}\left(k\right)h+\frac{1}{2}y\text{'}\text{'}\left(k\right)h^2+\frac{1}{6}y\text{'}\text{'}\text{'}\left(k\right)h^3+\mathcal{O}\left(h^4\right)$. Detta skulle ge ekvationen:

$y\left(k\right)+h·y\text{'}\left(k\right)+\frac{1}{2}y\text{'}\text{'}\left(k\right)h^2+\frac{1}{6}y\text{'}\text{'}\text{'}\left(k\right)h^3=\alpha ·y\left(k\right)+\beta \left(y\left(k\right)-y\text{'}\left(k\right)h+\frac{1}{2}y\text{'}\text{'}\left(k\right)h^2+\frac{1}{6}y\text{'}\text{'}\text{'}\left(k\right)h^3\right)+h\gamma f(t_k , y_k)$

Men vad ska jag göra med gammatermen? Den står väl egentligen för $h\gamma ·y\text{'}\left(k\right)$? I sådant fall skulle det bli:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =1\\ \gamma -\beta =1\end{array} \\ \beta =1\right.~\left\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ \gamma =2\end{array} \\ \beta =1\right. \end{gathered}$$

Då borde väl den högsta noggrannhetsordningen vara tre, eller? Verkar detta korrekt? 

Tacksam för all hjälp!