Oändligt många lösningar med en tvist.

Är a = 2/3 ett fall där vektorerna är linjärt oberoende eller ett fall då de är linjärt oberoende? (Så att man slipper lösa första frågan)

Förklara varför det finns ett oändligt antal avbildningar som trycker ihop rummet till ett plan, och som uppfyller att vektorn u skickas till (3, 6), vektorn v skickas till (1, 2), och w skickas till (-1, 0). 

@Serious : dem är linjär beroende.

@Smutso: jag har öppnat facit och nästan fått hjärnblödning. Swisha mig förenklad svaret snälla 😭!

(https://www.tntor.se/workboard/SF1624/Linj%C3%A4ra%20avbildningar/Linj%C3%A4r%20avbildning/Uppgifter/2483

Om det går inte, det ligger på tntor.se, avsnitt linjär abildning, "medel", uppgift 7)

*jag tror jag måste vila huvudet lite...*

Jag har inte tntor... :( Kan du lägga in en bild på lösningen?

Eftersom vi har fått ett specifikt tal a = 2/3 så kan det vara värt att sätta in den informationen så att vi ser om det är något speciellt med just det talet

u = (1,2,1)

v = (1/3, 2/3, 1/3)

w = (2,3,1/3)

Okej u = 3v så jag kan egentligen ignorera v och räcker med att beskriva T(u) och T(w)

Vår linjära avbildning T är alltså specificerad gällande vad som ska hända med u och w men säger inget om vad som ska hända med vektorer som inte är linjära kombinationer av u och w.

Låt säga att vi tog fram en normal till planet som spänns upp av u och w.

$n = u \times w$

T(n) kan av oss specificeras fritt för påverkas inte av vad T(u) och T(w) måste vara. Låt oss säga att T(n) = (0,0) så få vi en avbildning. T(n) = (1,0) så får vi en annan. Eftersom denna parameter är fri så kan vi fritt konstruera oändligt många T-avibildningar som följer T(u),T(w)-kravet och därmed finns det oändligt många. 

(Egentligen bara en längre variant av det Smutstvätt skrev)

 Sen måste du förstås kolla att T(u) = 3T(v) eftersom u = 3v, annars finns inga linjära avbildningar som uppfyller villkoren.

Tack till alla!

Jag postar tntor lösningen (alla kan gå på, du behöver inte skapa en konto eller sånt)

SeriousCephalopod skrev:

 

Eftersom vi har fått ett specifikt tal a = 2/3 så kan det vara värt att sätta in den informationen så att vi ser om det är något speciellt med just det talet

u = (1,2,1)

v = (1/3, 2/3, 1/3)

w = (2,3,1/3)

Okej u = 3v så jag kan egentligen ignorera v och räcker med att beskriva T(u) och T(w)

Vår linjära avbildning T är alltså specificerad gällande vad som ska hända med u och w men säger inget om vad som ska hända med vektorer som inte är linjära kombinationer av u och w.

Låt säga att vi tog fram en normal till planet som spänns upp av u och w.

$n = u \times w$

T(n) kan av oss specificeras fritt för påverkas inte av vad T(u) och T(w) måste vara. Låt oss säga att T(n) = (0,0) så få vi en avbildning. T(n) = (1,0) så får vi en annan. Eftersom denna parameter är fri så kan vi fritt konstruera oändligt många T-avibildningar som följer T(u),T(w)-kravet och därmed finns det oändligt många. 

(Egentligen bara en längre variant av det Smutstvätt skrev)

 Ok, nu är jag med. Vi hade två oberoende vektorer, vi tar normalen för att vara säkert att sättet är oberoende och rullar därifrån.

Eftersom detta matris (med en fri kolonn) transformerar ${\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$, är det en $3 \times 2$?