Onto eller one-to-one

Hej,

Du har struntat i att nämna om $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ är en linjär avbildning eller inte. 

Jag antar att $T$ är en linjär avbildning och att den representeras av matrisen $A$ med avseende på standardbasen på $\mathbb{R}^2.$

• Om matrisens determinant inte är noll så är $T$ både injektiv och surjektiv.
• Om matrisens determinant är noll så är $T$ varken injektiv eller surjektiv.

Hej,

Jag ber om ursäkt, T : R² → R² är en linjär avbildning.

Okej tack! Men då uppstår två frågor: Hur tar man fram determinanten när det endast är en 1x2 matris - Finns det en sådan? Och enligt facit ska transformationen endast vara injektiv och inte båda eller ingen av dessa två.

Hej,

Determinanter finns endast för kvadratiska matriser, vilket du har att göra med här eftersom vektorer i $R^2$ avbildas på vektorer i $R^2$; hade vektorer i $R^2$ avbildats på vektorer i $R^3$ så hade matrisen $A$ varit av typ $2\times3$ och då finns ej någon determinant som kan hjälpa till att avgöra egenskaper hos $T.$

Albiki skrev:

Hej,

Determinanter finns endast för kvadratiska matriser, vilket du har att göra med här eftersom vektorer i $R^2$ avbildas på vektorer i $R^2$; hade vektorer i $R^2$ avbildats på vektorer i $R^3$ så hade matrisen $A$ varit av typ $2\times3$ och då finns ej någon determinant som kan hjälpa till att avgöra egenskaper hos $T.$

Okej tack för informationen! Jag får finna ett annat sätt att lösa frågan på.

Matrisen A, vars kolonner består av koordinatvektorerna $T(1,0), T(0,1)$ kallas matrisen för avbildningen T.

$T(1,0)=(1,4)$ står i uppgiften du har alltså redan första kolonnen i A. Tänk om du hade $T(0,1)$ också, då skulle allt vara biff!

Albikis tips är bra! Bestäm matrisrepresentationen $A\in\mathbb {R}^{2\times 2}$ för $T$ (med avseende på standardbasen) och kolla vad determinanten blir.

Den första kolumnen i $A$ kommer vara $T(1,0)$ (som du redan känner till) och den andra kommer vara $T(0,1)$.

Hur tar du reda på vad $T(0,1)$ blir utifrån given information?

Ledtråd: Utnyttja att $T$ är en linjär avbildning!

Edit: Jroth var före!

När du har löst uppgiften på Albikis sätt kan du fundera på följande alternativa lösning:

Om vi har en linjär avbildning T: V $\to$ W, så vet vi allt om T om vi vet hur T avbildar en bas B för V. Speciellt kan vi säga om T är injektiv eller surjektiv.

1. T är injektiv (ett-till-ett) om och endast om:

I. Restriktionen av T till B (${\overline{)T}}_B$) är injektiv. Dvs om ${\overrightarrow{b}}_1, {\overrightarrow{b}}_2\in B$ och $T\left({\overrightarrow{b}}_1\right)=T\left({\overrightarrow{b}}_2\right) så är {\overrightarrow{b}}_1={\overrightarrow{b}}_2$. Och

II. T(B) är en linjärt oberoende mängd i W.

2. T är surjektiv (på) om och endast om T(B) spänner upp W.

Låt oss nu återgå till vårt specifika problem.

Eftersom (1, 0) och (1, 1) är linjärt oberoende så utgör de en bas B för R². Vidare är T(1, 0) = (1, 4) och T(1, 1) =(2, 5) distinkta och linjärt oberoende, således är både I och II uppfyllda och T är injektiv.

Vi vet även att en injektiv linjär avbildning från ett ändligdimensionellt vektorrum till sig självt måste vara surjektiv. Men vi ser även detta eftersom (1, 4) och (2, 5) är linjärt oberoende och därför även en bas för R². T(B) spänner således upp R².