Öppen boll i normerat rum

Jo, du kan skriva LaTeX mellan dubbla dollartecken (alltså två före och två efter). 

Okej, här kommer en reviderad version av mitt inlägg i trådstarten:

Vi befinner oss i ett vektorrum $V$ med en definierad norm $|| \cdot ||$. Om ett element $x \in V$ är givet och ett reellt tal $r>0$ så är min uppgift att visa att den öppna bollen med radie $r$ centrerad kring $x$, definierat enligt
$B_{r}(x) = \{ y: ||y-x||<r\}$, är lika med $x+B_{r}(0)$. Mängden $x+B_r(0)$ definieras här som $\{x+y: ||y||<r\}$. Att visa att $x+B_r(0) \subset B_r(x)$ är inga problem men när jag omvänt vill visa att $B_r(x) \subset x+B_r(0)$ så stöter jag på lite problem. Mitt påbörjade resonemang går enligt följande: Låt $v \in B_r(x)$. Vi har då att $||v||=||v-x+x|| \leq ||v-x||+||x||<r+||x||$. Kan jag utifrån olikheten $||v||<||x||+r$ på något sätt dra slutsatsen att $v=x+y$, för något $y \in V$ som uppfyller $||y||<r$?

Hej!

Du har skrivit $v=x+(v-x)$ och du utgår från att $||v-x||<r$ och då är saken klar.

Albiki skrev:

Hej!

Du har skrivit $v=x+(v-x)$ och du utgår från att $||v-x||<r$ och då är saken klar.

Ja, jösses, ibland är svaret mitt framför näsan på en utan att man inser det... Tack för hjälpen!

För att visa att

    $x+B_r(0) \subseteq B_r(x)$

plockar du vektorn $x+y$ där $||y||<r$ och vill visa att  $||(x+y)-x||<r.$ Men detta är självklart eftersom

    $(x+y)-x = y$

och det var givet att $||y||<r.$

Ett litet klurigare problem är att visa att $B_r(0)$ är en öppen mängd och därefter att $B_r(x)$ är en öppen mängd för varje val av vektor $x$; då får du nytta av sambandet du ville visa i denna tråd.