ordning av grupp

Jag tror du missuppfattat lite vad ordningen av ett element i en grupp är. Ordningen av säg $g \in G$ är minsta positiva heltal p, sådant att $g^p = e$ där $e$ är identiteten. Alltså är ordningen hur många gånger man måste multiplicera elementet med sig själv för att komma till identitetselementet. Så för att se att (1,0) har ordning 5 behöver du bara verifiera att $5(1,0) = e$.

Korta svaret på din sista fråga, ja, men jag tror att du skrivit fel i sista likheten :)

Längre svar: Ordningen av en kvotgrupp $G / H$, där H är en delgrupp av G, är det så kallade indexet av H i G som betecknas [G:H]. Det finns en sats som kallas Lagranges sats som säger att indexet [G:H] för ändliga grupper G och N är lika med $\frac{|G|}{|N|}$.

edit: missat dollartecken.

ja det blev fel nu såg jag ordningen ska ju bli 4, men jag är fortfarande inte helt med på hur man får fram att (1,0) är av ordning fem i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ för om vi multiplicerar 1 med 5 får vi ju fem såklart men om man multiplicerar noll med fyra blir det ju fortfarande noll, borde vi inte vilja få (1,0) till (5,4) vilket ju inte går oavsett vad vi multiplicerar med.

Tänk på att allting är modulo 5 och 4 här. Så (5,4) är "samma sak" (formellt sätt tillhör de samma ekvivalensklass) som (0, 0) när man tagit mod 5 och mod 4. Du vill hitta minsta $p$ sådant att $p(1,0) = (0,0)$ efter att du har tagit mod 5 och mod 4. Så det behöver inte bli just (5,4), utan det ska bli något som efter att man tar modulo 5 och 4 blir (0,0), då (0,0) är identiteten.

så om man sätter att $\rho =5$ får vi 5*1=5 och 5 (mod 5)=0, och sedan 5*0=0 och 0(mod 4)=0 och därmed får vi 5(1,0)=(0,0) ?

Ja precis, alltså tar det 5 gånger för (1,0) att komma tillbaka till identitetselementet (0,0) och (1,0) har då ordning 5.

okej då är jag med på hur vi får fram att ordningen av (1,0) är fem och att $\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4\right)/<\left(1,0\right)>$ är en grupp av ordning 4.

Vi vet att det finns två möjliga grupper av ordning 4, ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ och ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_2$, men hur ska man veta vilken av grupperna som $\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4\right)/<\left(1,0\right)>$ är isomorf med? I svaret står det ju att eftersom ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ är cyklisk så måste $\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4\right)/<\left(1,0\right)>\simeq {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ 

men jag förstår inte varför det blir så, och hur vet vi att ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ är cyklisk?

En grupp är ju cycklisk om den kan genereras av ett element och vi ser att i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5$ genererar samtliga element 1,2,3,4 hela gruppen och för ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ genererar 1,3 hela gruppen. Så om både ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5$ och ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ är cykliska kan vi säga att gruppen ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$ är cyklisk? 

Kvotgrupper av cykliska grupper är cykliska, så om man vet att $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$ är cyklisk måste $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4 / <(1,0)>$ också vara det.

Det räcker inte att $\mathbb{Z}_5$ och $\mathbb{Z}_4$ är cykliska för att deras direkta produkt ska vara det (Kleins 4-grupp är en direkt produkt av två cykliska grupper men inte cyklisk själv). För att se att $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$ är cyklisk kan man försöka hitta ett element av ordning 20. Ordningen av elementen i $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$ blir minsta gemensamma multipel av ordningen av elementen i $\mathbb{Z}_5$ och $\mathbb{Z}_4$ (tänk efter varför det blir på det viset). D.v.s. om man har $(a, b) \in \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$ så fås att $|(a, b)| = LCM(\text{ordningen av a i } \mathbb{Z}_5, \text{ordningen av b i } \mathbb{Z}_4)$. Kan du nu hitta ett element av ordning 20?

sätter man $\rho =\frac{1}{4}$ får vi ju att det blir (0,0) så skulle det gå så att vi får 0(1/4)=20 mod$\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4\right)$ ?

Nja, du behöver inte utgå ifrån $(1, 0)$ i det här fallet. I vilket fall som helst så är inte $\frac{1}{4}(1,0)$ ett element i $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$. Alla element i den gruppen innehåller endast heltal, och elementen är på formen $(a,b)$ (Där a och b är heltal som ska tas mod 5 respektive mod 4). Exempelvis är då $(3,2)$ ett element i $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$. $O(3) = 5$ i $\mathbb{Z}_5$ och $O(2) = 2$ i $\mathbb{Z}_5$ och alltså har $(3,2)$ ordningen $LCM(5, 2) = 10$ i $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$. (LCM är här minsta gemensamma mutipeln, "Least Common Multiple" på engelska)

Du behöver nu försöka hitta ett element av ordning 20 i $\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_4$ (detta elementet kommer då att vara en generator för hela gruppen). Du behöver hitta tal i $\mathbb{Z}_5$ och $\mathbb{Z}_4$ där minsta gemensamma multipeln av ordningarna blir 20.