13 svar
381 visningar
Albiki 4228
Postad: 8 apr 2018 Redigerad: 8 apr 2018

Övre begränsning av komplicerad integral

Visa att

    0π/2sinxcosxdx1. \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\sin x \cos x}\,\text{d}x \leq 1.

Här gäller det att vara uppmärksam på integrationsintervallet och att inte uppskatta integranden alltför grovt; integralens exakta värde involverar Eulers gammafunktion och π \sqrt{\pi} , så det är inte lätt om man försöker sig på att beräkna integralen exakt.

Albiki 4228
Postad: 10 apr 2018

Hej!

Ett tips: På det öppna intervallet (0,π2) (0,\frac{\pi}{2}) är funktionerna sinx \sin x och cosx \cos x strikt positiva.

tomast80 2518
Postad: 11 apr 2018

P.g.a. symmetri kan integralen skrivas som:

20π4f(x)dx 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx

Vidare inses att derivatan är mindre än för följande funktion: (π4)2-(x-π4)2 \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2-(x-\frac{\pi}{4})^2} ,

vilket innebär att integralen: I I kan inneslutas enligt följande:

I2·π·r2·14= I \le 2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \frac{1}{4}=

tomast80 2518
Postad: 11 apr 2018

=π3320,97<1 = \frac{\pi^3}{32} \approx 0,97 < 1 Q.E.D.

Albiki 4228
Postad: 14 apr 2018 Redigerad: 14 apr 2018

Hej! Intressant inlägg!

tomast80 skrev :

P.g.a. symmetri kan integralen skrivas som:

20π4f(x)dx 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx

Vilken symmetri är det som låter dig uttrycka integralen på detta sätt? Jag håller med om att integralen kan skrivas på det sättet, men din motivering behöver kompletteras.

Vidare inses att derivatan är mindre än för följande funktion: (π4)2-(x-π4)2 \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2-(x-\frac{\pi}{4})^2} ,

Hur inser du att integrandens derivata är uppåt begränsad av just den funktionen? Är det Taylorutveckling av sinxcosx \sin x\cos x du använder?

vilket innebär att integralen: I I kan inneslutas enligt följande:

I2·π·r2·14= I \le 2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \frac{1}{4}=

Hur får du just den övre begränsningen av integralen? Och vad betecknar r r ?

AlvinB 3328
Postad: 14 apr 2018

Jag försökte också lösa uppgiften och kom på i stort sätt samma metod som tomast80. Det går ut på att π42-x-π42 är ekvationen för en halvcirkel med radien π/4 centrerad i (0,π/4). Arean och därmed integralen kan då beräknas med den sedvanliga formeln πr2 med r=π/4.

Jag kom dock aldrig på något snyggt sätt att visa att halvcirkelns ekvation var mindre än sinxcosx (mer än att kolla på grafen). Jag undrar vad tomast80 har för idéer på den fronten.

JohanB 69
Postad: 14 apr 2018

AM-GM olikheten borde väl ge det rätt direkt (sålänge man kan integrera sin x+ cos x).

Albiki 4228
Postad: 14 apr 2018
JohanB skrev :

AM-GM olikheten borde väl ge det rätt direkt (sålänge man kan integrera sin x+ cos x).

Det visar sig att denna olikhet är precis rätt verktyg för att få den önskade övre begränsningen.

Olikheten är tillämpbar eftersom sinx \sin x och cosx \cos x båda är icke-negativa funktioner på integrationsområdet. Integranden blir uppåt begränsad av funktionen sinx+cosx2 \frac{\sin x + \cos x}{2} , som också kan förenklas till sin(x+π4)2 \frac{\sin(x+\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}} , och på integrationsområdet integreras denna funktion till just värdet 1.

tomast80 2518
Postad: 14 apr 2018
Albiki skrev :

Hej! Intressant inlägg!

tomast80 skrev :

P.g.a. symmetri kan integralen skrivas som:

20π4f(x)dx 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx

Vilken symmetri är det som låter dig uttrycka integralen på detta sätt? Jag håller med om att integralen kan skrivas på det sättet, men din motivering behöver kompletteras.

 

Min komplettering:

sinxcosx=sin2x2 \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}

Eftersom 0xπ2 0 \le x \le \frac{\pi}{2} gäller att 0xπ 0 \le x \le \pi

Då funktion sin2x \sin 2x genomlöper precis samma värden under första halvan av intervallet som den andra fast spegelvänt så kan man skriva om integralen som   Error converting from LaTeX to MathML.

Vidare inses att derivatan är mindre än för följande funktion: (π4)2-(x-π4)2 \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2-(x-\frac{\pi}{4})^2} ,

Hur inser du att integrandens derivata är uppåt begränsad av just den funktionen? Är det Taylorutveckling av sinxcosx \sin x\cos x du använder?

 

Motivering:

Jag kollade på derivatan under rottecknet. För cirkeln ekvation blir det:

12(π-4x) \frac{1}{2} (\pi - 4x) och för den ursprungliga ekvationen blir det cos2x1-x22 \cos 2x \approx 1 - \frac{x^2}{2} (för små x x . Lutningen på cirkeln är större i intervallet 0xπ4 0 \le x \le \frac{\pi}{4} .

vilket innebär att integralen: I I kan inneslutas enligt följande:

I2·π·r2·14= I \le 2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \frac{1}{4}=

Hur får du just den övre begränsningen av integralen? Och vad betecknar r r ?

r r är radien på kvartscirkeln. Begränsningen kommer av att den sökta integralen innesluts av kvartscirkeln. Man hade ju kunnat välja en annan funktion som låg ännu närmare den ursprungliga, men kvartscirkeln var tillräckligt nära för att ge en integral som understiger 1 enligt den efterfrågade olikheten.

tomast80 2518
Postad: 14 apr 2018 Redigerad: 14 apr 2018

Problem igen med LaTex och som vanligt går det inte att editera utan att förstöra resten av inlägget... (kan någon moderator ta detta vidare?)

Det jag skulle skriva var följande (gällande symmetrin):

0π2sinxcosxdx= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x\cos x} dx =

Error converting from LaTeX to MathML

Error converting from LaTeX to MathML

tomast80 2518
Postad: 14 apr 2018

Jag ger upp...

Det som stod var typ (två sista raderna):

int(0,pi/2,sqrt(sin(2x)/2) dx) = 2int(0,pi/4,sqrt(sin(2x)/2) dx)

tomast80 2518
Postad: 15 apr 2018

Kan tillstå att beviset för att kvartscirkelkurvan verkligen ligger över den andra funktionen på hela intervallet inte är helt klockrent från min sida. Någon annan får gärna komplettera den delen av lösningen.

tarkovsky123_2 180
Postad: 10 jun 2018

Hej! Jag såg precis denna tråd. Här är ett annat förslag på hur man kan gå tillväga.

Om vi studerar det linjära rummet C[0,π2] så är detta ett inre produktrum om vi låter f,g := 0π2f(t)g(t)dt. Alltså är normen f =f,f :=0pi/2f2(t)dt.

Enligt Cauchy-Schwarz så har vi att sinx,cosx = sinx,cosx  sinxcosx=0π2sinxdx0π2cosxdx = 1 vilket visar påståendet. (Första likheten följer av att · är positiv och likaså sinx och cosx i intervallet).

Lirim.K 518
Postad: 10 jun 2018
tarkovsky123_2 skrev:

Hej! Jag såg precis denna tråd. Här är ett annat förslag på hur man kan gå tillväga.

Om vi studerar det linjära rummet C[0,π2] så är detta ett inre produktrum om vi låter f,g := 0π2f(t)g(t)dt. Alltså är normen f =f,f :=0pi/2f2(t)dt.

Enligt Cauchy-Schwarz så har vi att sinx,cosx = sinx,cosx  sinxcosx=0π2sinxdx0π2cosxdx = 1 vilket visar påståendet. (Första likheten följer av att · är positiv och likaså sinx och cosx i intervallet).

 Fint!

Svara Avbryt
Close