3 svar
67 visningar
Axiom 952
Postad: 28 sep 11:39 Redigerad: 28 sep 11:39

Vektorer, plan och parameterform

Här vet jag att man ska veta att den här ekvationen är ett plan men jag förstår inte lösningen. 

Visa spoiler
Genomgång av problemet

a·r=ba=(ax,ay,az) ax+ay+az=bb=0  o planetra=a·ra=ba

Facit:

plane through pointwith positionvector (b/a2)a perpendicular to a

Gustor 348
Postad: 28 sep 12:01 Redigerad: 28 sep 12:03

Rent intuitivt så mäter dot product hur mycket en vektor är riktad mot en annan, med värdet 0 om de är ortogonala. Man kan alltså skriva ekvationen för ett plan somgår genom punkten p0 och har normal en n som punkterna p för vilka n * (p - p0) = 0. Om n = (a, b, c) och p = (x, y, z), återfås den vanliga ekvationen för ett plan.

Axiom 952
Postad: 28 sep 12:05 Redigerad: 28 sep 12:25
Gustor skrev:

Rent intuitivt så mäter dot product hur mycket en vektor är riktad mot en annan, med värdet 0 om de är ortogonala. Man kan alltså skriva ekvationen för ett plan somgår genom punkten p0 och har normal en n som punkterna p för vilka n * (p - x0) = 0. Om n = (a, b, c) och p = (x, y, z), återfås den vanliga ekvationen för ett plan.

Men nu är de inte ortogonala utan lika med ett reelt tal b. Skulle man kunna skriva axrx+ay+ry+az+rz=b ?

Jag förstår inte hur de har fått: ra=a.r¯a¯|, hur försvann cos, det gör den bara om vinkeln mellan dem är 0? och hur försvann längden av r, hur vet vi att längden är 1?

EDit:

Vänta lite, ra representerar projektionen av a på r och den går att räkna ut med följande ekvation:

 

men då tycker jag att vår ekavtion borde se ut såhär: ra=a*rr=rcosθ

Hur kan facit då få b/a^2 ??

PATENTERAMERA Online 6016
Postad: 28 sep 15:40 Redigerad: 28 sep 15:41

Jag skulle lösa problemet så här.

Först försöker vi hitta något r0 som uppfyller ekvationen. Vi försöker hitta ett r0 som är parallellt med a. Dvs r0=λa.

λaa=bλ=ba2. Så r0=ba2a.

Låt nu r vara ortsvektorn till en godtycklig punkt som uppfyller ekvationen.

Dvs vi har

ra=b

r0a=b.

Om vi drar ovanstående ekvationer från varandra så får vi

r-r0a=0. Notera att om r uppfyller denna ekvation så uppfyller den också ursprungsekvationen (eftersom r0a=b).

Så ekvationen ra=b är ekvivalent med ekvationen r-r0a=0, vilket är ekvationen för ett plan genom r0 som är vinkelrät mot a, dvs a är en normalvektor till planet.

Svara
Close