Rotationsvolym runt x-axeln

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}{x}^2 \\ På samma sätt som när du deriverar så behöver du inte bry dig \\ om kons\tan ten. Den bara följer med. \\ Dvs F\left(x\right)=\frac{1}{4}\frac{x^3}{3}=\frac{x^3}{12} \\ Du kan ju prova att beräkna F\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}så ser du att det stämmer. \end{gathered}$$

Varför är det inte F(x)= $\frac{1}{4x}* \frac{x³}{3} ?$

Antag att F(x) är en primitiv funktion till (1/4)*x²

Antag att F(x)=k*g(x)

Då är F'(x)=k*g'(x)=(1/4)*x²

Sätt k=1/4

Då är g'(x)=x²

=> g(x)=x³/3

Och F(x)=(1/4)*x³/3

Omvänt.

Vad är derivatan av f(x)=x³/3=(1/3)*x³=g(x)*h(x), där g(x)=1/3 och g(x)=x³

Använd produktregeln

f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)=0*x³+(1/3)*3x²=x²

Dvs vid derivering och integrering behöver man inte bry sig om konstanterna, de bara följer med.

ja okej du menar att nämnaren är en konstant, då hänger jag med.. sorry. Trodde det inte räknades som en konstant när det var i bråk.. Om det hade stått x²+4 

Hade den primitiva funktionen blivit x³/3 enbart då? 

Om jag då har x³/12, så ska jag kvadrera det enligt formlen igen?

Nej, du ska integrera enligt nedan.

$V=\mathrm{\pi }{\int }_0^2{\mathrm{y}}^2\mathrm{dx}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2{\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}\right)}^2\mathrm{dx}$

OliviaH skrev:

ja okej du menar att nämnaren är en konstant, då hänger jag med.. sorry. Trodde det inte räknades som en konstant när det var i bråk.. Om det hade stått x²+4 

Hade den primitiva funktionen blivit x³/3 enbart då? 

Om jag då har x³/12, så ska jag kvadrera det enligt formlen igen?

Nej om det hade stått x²+4 så hade en primitiv funktion blivit x³/3 + 4x 

henrikus skrev:

Nej, du ska integrera enligt nedan.

$V=\mathrm{\pi }{\int }_0^2{\mathrm{y}}^2\mathrm{dx}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2{\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}\right)}^2\mathrm{dx}$

Blir det då $\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left(\frac{\mathrm{x}³}{12}\right)²\mathrm{dx}= \frac{\mathrm{x}⁹}{144}={\left[\frac{\mathrm{x}⁹}{144}\right]}_0^2= \frac{2⁹}{144}-\frac{0⁹}{144}=\approx 3,56·\mathrm{\pi }\approx 11,2$

Tror jag gör fel.. men hur ska jag göra istället?

Du ska utveckla det som står i integralen.

(x^2/4)^2=x^4/16

Primitiv funktion blir x^5/(5*16)=x^5/80

okej, såhär har jag skrivit.. hur ser det ut? 1,26 V.e

Ser bra ut så vitt jag kan bedöma.