Sinuskurvor
En allmän sinuskurva kan skrivas på formen y=Asinb(x+c)+d
där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.
a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.
b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten (π/6 ; 5).
c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen f′(x)=0 har exakt tre lösningar i intervallet 0≤x≤2π
d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).
e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?
på b) så fattar jag att sin x = 0 på något sätt. På c) uppgiften fattar jag inte. Jag vet att det har något med konstanten b att göra: perioden. Sedan vet jag inte
a) Bra
b) Ja denna funkar för om du sätter x = π/6 i denna ekvation får du y = 5, och därmed går den igenom punkten (π/6, 5).
c) Om vi kallar funktionen i b) för f(x), hur ser då f'(x) ut? När du deriverat, undersök hur många gånger f′(x)=0 i intervallet mellan 0 och 2π. Om det inte är 3, försök ändra på f(x) så att det blir rätt.
d) och e) Konstanten b gör ju perioden kortare eller längre. Om den är för stor då kommer funktionen uppfylla f'(x) = 0 för många gånger, om den är för liten kommer den uppfylla f'(x) = 0 för få gånger. Undersök detta.
Hej! på c) hur ska jag derivera mitt uttryck ovan. Ska jag använda kedjeregeln? Funkar det ens här?
Ja det är rätt. Kedjeregeln gör i det här fallet inget, eftersom derivatan av x−π/6 bara är 1.
Hur ska man få fram tre lösningar? För just nu är mitt uttryck utan att jag har ändra något följande:
Denna ekvation har två lösningar inom intervallet. Jag måste därför då ändra perioden så att den blir kortare eftersom perioden nu är på 2pie.
Precis, ändra på konstanten b för att korta ner perioden.
Jag har testat där b=2 eller b=1.5. Jag får då ut 4 lösningar alternativ 2 i det intervallet
b = 1.5 ger 3 lösningar tycker jag!
Rita upp på din grafräknare så ser du.
