Skolornas Matematiktävling: Aritmetik

Problemet kan även formuleras på följande sätt.

Givet det nollskilda heltalet $m$, har följande ekvation lösningar som ligger i mängden $Q(m)$?

    $\displaystyle x^2+(x+\frac{1}{m})^2+(x+\frac{2}{m})^2=1$

där

    $Q\left(m\right)=\{r\in \mathbf{Q}:rm\in \mathbf{Z}\}$.

En annan formulering av problemet är denna: För vilka heltal $n$ är heltalet $2+3(n+1)^2$ ett kvadrattal?

Nej.

Ett kvadrattal måste vara kongruent med $0$ eller $1$ modulo 3. Detta kan man se genom att gå igenom de olika möjligheterna. Ta ett kvadrattal $p^2$, så blir:

$p^2\equiv (p mod 3)·(p mod 3) (mod 3)$

Ifall $p\equiv 0 (mod 3)$ så blir $p^2\equiv 0·0 (mod 3)\equiv 0 (mod 3)$, ifall $p\equiv 1 (mod 3)$ så blir $p^2\equiv 1·1 (mod 3)\equiv 1 (mod 3)$ och slutligen om $p\equiv 2 (mod 3)$ blir $p^2\equiv 2·2 (mod 3)\equiv 1 (mod 3)$. Ett kvadrattal kan alltså inte vara kongruent med $2 (mod 3)$.

Eftersom $3(n+1{)}^2$ är en multipel av tre blir det kongruent med $0 (mod 3)$, och alltså blir $2+3(n+1{)}^2$ kongruent med $2 (mod 3)$:

$2+3(n+1{)}^2\equiv 2 (mod 3) + 3(n+1{)}^2 (mod 3)\equiv 2 (mod 3)$

Eftersom det är kongruent med $2\ (mod\ 3)$ kan det inte vara ett kvadrattal.