Skriv en formel som visar P(varken A eller B) (Matematik/Matte 1/Sannolikhet och statistik)

Ja, jag tycker att du borde få rätt med ditt svar.

Står det 1-(x+y-z) i facit? I så fall är det samma sak som det du har skrivit.

Detta går att komma fram till med hjälp av ett Venndiagram eller ett träddiagram.

Tack så mycket!

Ja det stämmer att facit skrev 1-(x+y-z).

Jag förstod inte den lösningen. Om mitt var rätt också så borde det väl räcka.

Jag tror det vore bra om du förstod lösningen i facit. Hur såg den ut? Kan du ladda upp en bild?

Facit säger såhär:

OK då fanns det ingen lösning att förstå.

De kan ha använt ett s.k. Venndiagram för att få fram svaret på just den formen. Har du träffat på sådana tidigare?

Malin12345 skrev:
För två händelser gäller att
P(A) = x
P(B) = y
P(både A och B) = z
Skriv en formel som visar P(varken A eller B)
Jag tänkte att jag gångrar A och Bs komplementhändelser med varandra så min formel blev:
(1-x) ×(1-y)

Din lösning är korrekt om händelserna är oberoende (annars inte), dvs om P(AB) = P(A)·P(B) eller med textens beteckningar om z = x·y .

Är detta en (grov) miss i problemformuleringen, som i dina tidigare exempel?

Till Yngve: nej jag har aldrig stött på varken Venndiagram eller oberoende händelser förutom här på pluggakuten!

Till Arkos: jag skrev bara frågan rakt av men kan ladda upp en bild! Antar att vi inte vet om A och B är oberoende isåfall.

• Kan du skriva en formel för P(A eller B) om du känner P(A), P(B) och P(AB)?
Den kanske står i din mattebok?

• Kan du visa att [varken A eller B] är komplementhändelsen till [A eller B] ?

Då kan du lösa uppgiften utan att behöva förutsätta att A och B är oberoende.

Hej!

Jag hittar tyvärr inget om det i min mattebok men jag lärde mig ju två formler för P(antingen A eller B) i den förra tråden jag postade.

Isåfall borde det bli antingen:

X×(1-Y) + Y×(1-X) +(1-X) ×(1-Y) =1

Eller

X+Y-2Z +(1-X) × (1-Y) =1

Jag provade att förenkla ekvationen men kom fram till fel svar men sen kom jag på att jag inte behövde förenkla den.

(1-X) × (1-Y)= 1-(X+Y-2Z)

Det blir ju samma svar som facit om man tar ett Z istället för två. I förra tråden skulle vi ju ta P(A) +P(B) -2P(AB) för att få fram antingen A eller B, för att AB ingick i båda cirklarna på diagrammet vi ritade så skulle vi ta bort det två gånger. Kommer du ihåg? Men man ska alltså ta bort Z en gång?

Det var mycket på en gång.
Jag börjar nerifrån: "I förra tråden skulle vi ju ta P(A) +P(B) -2P(AB) för att få fram antingen A eller B, för att AB ingick i båda cirklarna på diagrammet vi ritade så skulle vi ta bort det två gånger. Kommer du ihåg? Men man ska alltså ta bort Z en gång? "

Det beror på vad man vill beräkna. Vill du ha P(A eller B) ska du ta bort z = P(AB) en gång.
Vill du ha P(antingen A eller B) ska du ta bort z = P(AB) en gång till.

Gå tillbaka till frågan om P(antingen A eller B) och kolla figuren.
https://www.pluggakuten.se/trad/sannolikheten-att-antingen-a-eller-b-intraffar/

Där skriver jag:
"Men området i mitten P(A och B) = P(AB) är redan dubbelräknat eftersom det ingår i både P(A) och P(B). Vi måste därför dra bort det två gånger. Drar vi bara bort det en gång får vi P(A) + P(B) – P(AB) som är lika med P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA'). Drar vi bort det en gång till får vi P(AB') + P(BA') som är den sökta sannolikheten.

AB' är det streckade området i A-cirkeln:    {A men inte B} = AB'
BA' är det streckade området i B-cirkeln:    {B men inte A} = BA'
AB   är det vita området där cirklarna överlappar varandra = {både A och B}
A'B' är området utanför båda cirklarna: icke-A och icke-B = {varken A eller B}
Alla fyra är disjunkta och tillsammans uppfyller de utfallsrummet."

I första stycket ser du formeln för P(A eller B), som också illustreras av figuren.
I andra stycket är figurens fyra delområden beskrivna utifrån A och B.
Delområdena saknar gemensamma punkter, inget av dem överlappar något annat område (de är ömsesidigt uteslutande = disjunkta).

Man ser att A = AB + AB' och att B = AB + BA' (se figuren)
och att {A eller B} = AB' + AB + A'B

Rita en egen figur och sätt ut alla delområdena!
Vad är motsatsen (komplementhändelsen) till {A eller B}?

----------------------
(Det här med oberoende tar vi sedan)

Okej! Tack så mycket! Jag tror jag har fattat det nu! X+Y-Z = A eller B och komplementhändelsen till P(A eller B) blir då 1-(X+Y-Z)

Kan du hitta på en egen fråga som det inte finns facit till, som bara du vet, så kan vi se om jag har fattat det?

Snyggt!

En sak bara. Man får se till att skilja på "händelse" och "sannolikheten för händelse".
Figuren visar bl a att: {A eller B} = AB' + AB + BA' precis som du skriver på sista raden
Sannolikheterna blir: P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA')

Eftersom A = AB + AB' och B = AB + BA'
så är P(A) = P(AB) + P(AB') och P(B) = P(AB) + P(BA')
och då blir P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA') = P(A) + P(B) – P(AB) = x + y – z

Vill du ha med sannolikheterna i figuren måste det bli så här (med textens beteckningar)

z = P(AB); x = P(A) = z + P(AB'); y = P(B) = z + P(BA'),

så att P(AB') = x – z och P(BA') = y – z [ Vad blir då P(A'B')? ]

Se upp med det i figuren.

Och här:
"Jag tror jag har fattat det nu! X+Y-Z = A eller B och komplementhändelsen till P(A eller B) blir då 1-(X+Y-Z)"
Visst!
Men du har råkat blanda ihop händelser och sannolikheter när du skrev ner det.
Du menar nog detta:
x + y - z = P(A eller B) och komplementhändelsen har då sannolkheten 1 – (x + y - z)

Återstår att bestämma vad komplementhändelsen till {A eller B} är för en ....

Du har kommit långt nu!
OBS Ingenstans har vi sagt något om att A och B skulle vara oberoende. Det behövs inte här.

Detta kom jag fram till nu. Om det är fel får vi ta nya tag imorgon!

Hej nu har jag tänkt lite till.

Bra att du tänkt vidare! Nu har vi så många inlägg att det nog är bäst att vi går tillbaka till mina två första frågor och reder ut dem i ljuset av de nya tankarna:

• Kan du skriva en formel för P(A eller B) om du vet P(A), P(B) och P(AB)?
• Vad är komplementhändelsen till [A eller B] ?

Nu har vi också fördelen att kunna utgå från din senaste figur:

Den röda ramen har jag lagt till för att markera “utfallsrummet” = R
Ramen markerar exemplets hela värld.
Vad som än händer, så ingår det i R. Därför är P(R) = 1

Fråga 1: Kan du skriva en formel för P(A eller B) om du vet P(A), P(B) och P(AB)?
Det har du redan gjort: P(A eller B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Du har också noterat att {A eller B} = AB’ + AB + BA’
Vi vet också att (AB’ + AB + BA’) + A’B’ = R (se figuren)

Då är P(AB’) + P(AB) + P(BA’) + P(A’B’) = P(R) = 1

Fråga 2: Vad är då komplementhändelsen till [A eller B] ?

Ja, vad säger du?

Jag tror att det blir såhär:

Fråga 1) en formel för P(A eller B):

P(AB') + AB +BA' = X+Y-Z

Fråga 2) komplementhändelsen till P(A ellerB) är P(varken A ellerB) = A'B'

A'B' =1- X+Y-Z

X+Y-Z + A'B' =1

A'B' = Z

Jag tror att PA'B' =2 Z

Om PA'B' = Z så skulle det bli X+Y = 1

Om PA'B' = 2 Z så blir svaret X+Y+Z =1

Det låter mer logiskt att sannoliken för A + B +inte A och B skulle bli 1. Jag säger A'B' = 2 Z som mitt slutgiltiga svar.

Du skrev:

Jag tror att det blir såhär:
Fråga 1) en formel för P(A eller B):
P(AB') + AB +BA' = X+Y-Z

P( ) fattas på två termer i VL, annars rätt.
VL blir P(AB') + P(AB) + P(BA') .

HL blir då (se figuren): (x-z) + z + (y-z) = x + y - z,
där x = P(A), y = P(B) och z = P(AB),
dvs P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA') = P(A) + P(B) – P(AB)

Nästa fråga, Du skrev:
Fråga 2) komplementhändelsen till P(A ellerB) är P(varken A ellerB) = A'B’

Här tror jag du menar
att komplementhändelsen till {A ellerB} är {varken A eller B}
som är lika med A'B’ (se figuren). Helt rätt.

Det betyder att P(A ellerB) + P(varken A eller B) = 1

Sista frågan:
Vad blir då P(varken A eller B) uttryckt i x, y och z?

Visa spoiler

Kom ihåg att sätta ut parenteser där det behövs

Jag tror att P(A'B') måste bli ett Z.

Jag har inte tittat på din spoiler än men ska göra det nu.

Men z är ju lika med P(AB)?

(Jag envisas med att skriva x , y och z som det står i texten, alltså små bokstäver)

Räcker det att jag jag skriver P(A'B') = 1-(X+Y-Z) ? Eller vill du ha P(A'B') i bara bokstäver utan 1:an?

Okej!

P(A'B') = 1-(x+y-z) 😊

Och hur fick du det?

1 – (x + y – z) är också ett uttryck i x, y, och z
liksom 5 – (2x + y^2 - 9z) .

Jag tog bara 1- (x +y-z) för att få fram sannolikheten för komplementhändelsen till {A eller B} eftersom vi vet att sannolikheten på {A eller B} är (x + y- z) och vi vet att P {A eller B} + P {varken A eller B} = 1.

Komplementhändelsen {varken A eller B} blir P(A'B') eftersom det är det som är området utanför cirklarna.

Utmärkt!
Jag ville bara att du skulle skriva det också, så jag kan se hur du har resonerat.
Nu har du motiverat svaret både algebraiskt och "geometriskt". Bra!

Kom ihåg figuren! Den är ett exempel på Venn-diagram men det behöver du inte oroa dig för. Nu vet du ju hur det fungerar i detta sammanhang (användbart i många andra sammanhang också). I mattekursen kommer det först senare, i Matte 5 tror jag.

Hur är det tänkt att man ska lösa uppiften med de kunskaper man har i matte 1?
Det får någon gärna svara på.

Tack! 😊

Ja det är en bra fråga fråga! Hade jag gärna oxå velat ha svar på 😊

Tack för hjälpen och tålamodet 😊

Komplement
Hur kan man hantera uppgiften med det man vet i Matte 1?
Ingen har ännu svarat på det och själv vet jag inte.

Venn-diagram behandlas först i Matte 5. I detta fall kan man göra ett motsvarande “diagram” i form av en fyrfältstabell. Är det något man går man igenom i Matte 1?
Vad säger man i kursen om beroende och oberoende händelser?

Se sammanställningen nedan. Fallet oberoende händelser kommer sist.
Frågaren var inne på det redan i sitt första inlägg.

===================================================

De inblandade händelserna kan också presenteras i en fyrfältstabell:

liksom motsvarande sannolikheter:
Med beteckningarna i exemplet
och ifyllda sannolikheter:
Om däremot A och B är oberoende händelser, så är i stället P(AB) = P(A)·P(B).
Då är även A och B’ oberoende, så att P(AB’) = P(A)·P(B’).
Och även A’ och B’ så att P(A’B’) = P(A’)·P(B’).

Då är det bara att multiplicera ihop de enskilda sannolikheterna:
===============================================

Arktos skrev:

...
Hur är det tänkt att man ska lösa uppiften med de kunskaper man har i matte 1?
Det får någon gärna svara på.

Om vi förutsätter att händelserna är oberoende (eller om vi vet hur beroendet ser ut) så kan vi använda ett träddiagram (som jag tror ingår i Matte 1) för att lösa uppgiften.

Den första fyrkanten känner jag igen från när man har räknat ut sannolikheten om det ska bli krona eller klave men resten var nytt. Det sista diagrammet med oberoende händelser var lättare att förstå.

Träddiagram har jag lärt mig i boken. Hur kan man räkna ut det med hjälp av träddiagram?

Jag hittade längst bak i boken ledtrådar för hur man ska räkna ut det så det är förmodligen såhär boken vill att jag ska räkna:

(Det är ju lättare att förstå om man tänker som ett Venndiagram att de överlappar varandra och det är därför man tar bort Z. )

Malin12345 skrev:
...
Träddiagram har jag lärt mig i boken. Hur kan man räkna ut det med hjälp av träddiagram?
...

Fint träd, men tyvärr gäller det enbart om händelserna är oberoende, dvs om x·y = z .
I texten finns ingen uppgift om att de skulle vara oberoende.

Malin: Det var ju bra ledning! 7156 Den hade varit till god hjälp.

Samma ledning kan utläsas direkt ur "fyrkanterna":

A består av de två rutorna i översta raden (grön ram)
B består av de två rutorna i vänstra spalten (röd ram)
De överlappar varandra i [A och B] som de ska.

Med sannolikheter på plats:

Övriga sannolikheter kan vi beräkna eftersom radsummor och spaltsummor är kända.

Jämför med Malins figur:

"Fyrkanten" är ett kantigt Venn-diagram för att det har raka gränser mellan delarna,
men båda figurerna innehåller samma "delar" och samma information.

Nog borde en sådan "fyrkant" kunna ingå i kursen?
Då klarar man ju alla situationer som kan uppstå med två händelser.
Vad står det egentligen i läroboken?

Arktos skrev:
Fint träd, men tyvärr gäller det enbart om händelserna är oberoende, dvs om x·y = z .
...

Ja, som jag skrev i det här svaret.

Visst! Förlåt, det har hänt så mycket sedan dess.

Men då kvarstår frågan:
Hur är det tänkt att man ska lösa uppgiften med kunskaper från Matte 1?
Dvs när händelserna inte är oberoende?

Tack så mycket! Nu förstod jag lite bättre.

Arktos, jag har inte sett någon sådan fyrkant i matteboken tyvärr och inte hittat något annat heller som skulle kunna vara till hjälp. Om du vill veta vad som står i matteboken så kan jag ta ett foto på alla sidor i kapitlet om sannolikhet och skicka till dej om du vill. Det skulle bli 38 sidor. Eller så kan jag hoppa över alla sidor med enbart frågor på om du vill.

Frågade min dotter som undervisar årskurs 9 och hon säger att de löser sannolikhet med träddiagram och det blev rätt svar som Yngve gjorde då han löste det med träddiagram. Så det är nog så man ska lösa detta. Kanske tabeller också får användas men inte Venndiagram. Ville bara säga detta då jag frågade min dotter tidigare om hur de löste detta utan Venndiagram.

Tack Marie!
Det må vara att man i åk9 utgår från att alla inblandade händelser är oberoende, men det ska man inte behöva göra i Matte 1. Här får man vackert nämna det varje gång man förutsätter att händelser är oberoende.

På den punkten verkar det vara något konstigt med sannolikhetskapitlet i “Matematik 1b”. Många uppgifter i boken kräver oberoende händelser för att bli entydigt lösbara och facit ger varje gång entydiga svar.

https://www.pluggakuten.se/trad/fortsattning-fraga-6/

Enligt frågaren står det dock ingenting om oberoende, vare sig i uppgiftstexterna eller tidigare i kapitlet. Termen oberoende händelser finns inte heller med i sakregistret.

Begreppet kanske inte ingår i kursen? Jo, det verkar det göra:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/statistik-och-sannolikhet/sannolikhet

Här finns ett avsnitt om beroende och oberoende händelser i anslutning till exempel om tärningskast och dragning utan återläggning.

I Matte 1 är begreppen i alla fall introducerade. Hur är det med det i åk9?

Yngve:

Tack för bilden på trädet. Jag förstod hur du tänkt men jag förstod inte hur du räknade när du fick (1-x)(1-y) = 1-x-y+yx ?

Det är den distributiva lagen.

Varje term i den första parentesen ska multipliceras med varje term i den andra parentesen.

Det blir då

(1-x)*(1-y) = 1*1-x*1-1*y-x*(-y) = 1-x-y+fy.

Dags att prova tankegångarna på ett par sifferexempel?

Lotteri 
Ta en lott! På den kan du vinna A eller B eller både A och B
Det finns skrap-lotter och direktlotter.

          Skrap-lott (träddiagram?)
          Du drar en lott och får skrapa fram resultatet.
          Först får du veta om du vunnit A eller ej. Sedan får du veta om du vunnit B eller ej.

Direktlott (“ruta”, fyrfältstabell?)
Du drar en lott och får veta resultatet på en gång.

Uppmjukningsexempel
P(A) = 0,3 och P(B) = 0,8 och P(A och B) = 0,24, så A och B är oberoende händelser.
Beräkna sannolikheterna för de fyra möjliga utfallen, både med träd och med ruta.
(A men inte B, både A och B, B men inte A, varken A eller B)
Lösningar finns tidigare i tråden.

Hårdare. Nytt lotteri
Även här är P(A) = 0,3 och P(B) = 0,8 men nu är P(A och B) = 0,2 . Här är A och B inte längre oberoende.
Beräkna sannolikheterna för de fyra möjliga utfallen (både med träd och med ruta).

Hårt (överkurs?). Det allmänna lotteriet
P(A) = x och P(B) = y och P(A och B) = z
Beräkna sannolikheterna för de fyra möjliga utfallen (både med träd och med ruta).
[Betrakta x, y och z som kända tal och härled uttryck för sannolikheterna.]

Lösning med ruta finns tidigare i tråden. Lösning med träd är nytt.
Spoiler: Träddiagram för det allmänna lotteriet

Visa spoiler

Hej igen!

Nu har jag googlat lite på distributiva lagen och lärt mig hur man multiplicerar parenteser. Det hade jag inte lärt mig i boken och det finns inte med i sakregistret. Vad jag förstod på Google så skulle det tydligen ingå i matte 1. Jag ska skrota denna boken nu och begära pengarna tillbaka! 😂

Jag har gjort uppgifterna. Jag fick olika svar på Nya lotteriet. Förmodligen är ett av dem fel. Jag förstod hur du hade gjort på din spoiler. Jag förstod först inte hur du fick 1-x-(y-z) till 1 - (x+y-z) men jag testade med olika siffror och det blir ju samma sak om man flyttar fram parentesen och ändrar tecknet. Är det en regel som är så? Jag gjort ett Vennidiagram oxå när jag ändå var i farten!

Jag kom precis själv på vad jag gjort för fel så här är det nya träddiagramet på nya lotteriet.

Nu har jag googlat lite på distributiva lagen och lärt mig hur man multiplicerar parenteser. Det hade jag inte lärt mig i boken och det finns inte med i sakregistret. Vad jag förstod på Google så skulle det tydligen ingå i matte 1. Jag ska skrota denna boken nu och begära pengarna tillbaka! 😂

Vilken bok är det? Förhoppningsvisstår det i din bok att t ex 3(a+5)=3a+15 fastän man inte har använt namnet "distributiva lagen".

Ja det stämmer! Det yttrycket har jag lärt mig fast det jag inte kunde var hur man multiplicerar två parenteser med varandra. Vi pratade om det tidigare i tråden om hur man räknar ut (1-x)(1-y). Boken heter Matematik M1b från Liber (skriven av Martin Holmström, Eva Smedhamre och Jonas Sjunneson). Det stämmer att jag lärt mig mycket i den också fast att jag inte har lärt mig några av de termer som används här på pluggakuten t.ex "oberoende händelser", "disjunkta händelser" och nu "distributiva lagen".

Malins lösningsförslag

Uppmjukningsexempel Helt OK, både ruta och träd

Hårdare. Nytt lotteri
Ruta helt OK (rutan är ju som gjord för detta). Träd OK i andra försöket.
Vad betyder 4 – 2 här? Nej, du menar nog y – z . Haha! Handstilen?

Här måste man “reda ut beroendet” för att få rätt sannolikheter på de sista grenarna.
Det har du också gjort (helt rätt) men det är otydligt redovisat.

I första trädtoppen står P(AB) = 0,2 som då ska vara produkten av 0,3 och sannolikheten på den sista grenen. Kalla den u så blir 0,3 · u = 0,2 och u = 2/3 (runda inte av!).

Grenen till nästa trädtopp får då sannolikheten 1– 2/3 = 1/3 och P(AB’) = 0,3 · 1/3 = 0,1

I tredje trädtoppen står P(A’B) som tillsammans med P(AB) ska bli lika med P(B) [se rutan!],
så P(A’B) = P(B) – P(AB) = y – z = 0,8 – 0,2 = 0,6. Vägen dit börjar med A’ som har sannolikheten 0,7 . Grenen till trädtoppen får då sannolikheten 0,6/0,7 = 6/7 (runda inte av!) för att produkten ska bli den rätta: 0,7 · 0,6/0,7 = 0,6 .

Värdet i den fjärde trädtoppen blir då 0,7 · (1 – 6/7) = 0,7· 1/7 = 0,7 / 7 = 0,1 = P(A’B’).

Puh! Det här kan kännas knepigt i början, men inget steg är svårt. Varför gör vi då detta när vi redan räknat ut allt i rutan? Tja, här är det egentligen bara för att visa att man kan komma fram till samma sak med ett träddiagram som med en ruta.

Hårt (överkurs?). Det allmänna lotteriet
Samma sak fast “med bokstäver”

==============================
MEN, och detta är överkursen, med trädet reder vi också ut beroendet mellan händelserna i form av sannolikheterna på de yttersta grenarna. Den första, 2/3, är sannolikheten för B om vi vet att A har inträffat. Annars är ju P(B) = 0,8 men vet vi att A har inträffat så förändrar det sannolikheten för B (eftersom de är beroende) och det på ett alldeles bestämt sätt. Vet vi P(AB) kan vi också räkna ut hur.

Då är P(B, om A har inträffat) = P(AB) / P(A).

Om P(B) är lika med P(B, om A har inträffat) så är händelserna oberoende.
Då är alltså P(B) = P(AB) / P(A) och vi får det vanliga sambandet P(A)· P(B) = P(AB),
men det gäller enbart om händelserna är oberoende.

Det här har vi sett i exempel om “dragning av kulor ur påse” med resp. utan återläggning mellan dragningarna.

Överkurs, som sagt, men provläs gärna:
https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/sannolikhetsteori/betingad-sannolikhet

Hej!

Nu har jag gjort om träddiagramet på det nya lotteriet (och även ansträngt mig för min taskiga handstil 😂 )