Spegling i en linje

Vektorer längs linjen är egenvektorer till A med egenvärde 1. Är då (5,4) en sådan egenvektor?

Dr. G skrev:

Vektorer längs linjen är egenvektorer till A med egenvärde 1. Är då (5,4) en sådan egenvektor?

 how would I kno ... nej? $Av\neq v$?

o vad har egenvektor med saken att göra? Jag märker att du nämner egenvektorer?

Om du speglar en vektor på linjen i linjen själv så kommer den inte ändras, det är per definition en egenvektor med egenvärde 1 (Ax = x), det var väl bara menat som en sanify check av din lösning (som den inte uppfyller, alltså har du gjort något fel). Samtidigt en möjlig lösningsmetod, bestäm egenvektorn med egenvärde 1 till matrisen så får du en vektor som spänner upp linjen som det speglas i.

Ok, ni menar så här: eftersom speglingen i en linje förändrar inte linje, jag kan gaussa matrisen och få en parameterlösning för min linje? 

Hur kom ni på det?

Ok vi testar:

$\frac{1}{41}$ kan vi nog kasta bort, det är bara en tal som skalar vektorer,

$\left(\begin{array}{cc}-9& 40\\ 40& 9\end{array}\right) \succ gaussa gaussa \succ \left(\begin{array}{cc}-9& 0\\ 0& 9\end{array}\right) \succ gaussa gaussa \succ \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$... med en lösning $t\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ ?

För att hitta egenvektorn vill du lösa Ax = x, dvs (A-I) x = 0. Alltså ska du göra gausselinimering på

 $\left(\begin{array}{cc}-50& 40\\ 40& -32\end{array}\right)$

Vet inte hur du gjorde din gausseliminering.

dioid skrev:

 

Vet inte hur du gjorde din gausseliminering.

 Dåligt. Jag bara tog bort 40:or för att R2 + R1*(-9*40/9) = 0, och den andra 40 kunde man nog eliminera också.

Nu hittar jag t$\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$. Det är ganska nära min lösning. Är det nåt slarv? För jag förstår inte vad gick fel.

Kolla att Ax = x med ursprungliga A, jag gjorde snabbkoll och det verkar stämma.

Men vet du varför jag hittar $\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]$ med min gruvarbete? Vad har hänt där?

Jag tror det bara är en tillfällighet.

NÄMEN vänta! Jag vet! Det är som den andra grej du påpekade! Det är för att jag bör projiceras bas vektorer på normalen för linjen istället för att projicera på riktningsvektoren, som du påpekade i förra avsnitt!

Om normalen är $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$, då 

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]-\frac{2\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}{{\left(-b\right)}^2+a^2}\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\frac{1}{41}\left[\begin{array}{c}-9\\ 40\end{array}\right] \\ 1 - \frac{2a^2}{41}=\frac{-9}{41} \\ a = \pm 5 \end{gathered}$$

edit 1 : NOPE 😳.

edit 2: samtidigt, är det inte weird att man kan inte komma fram till resultat med projektionsformel?

Löste det här sig med "vanliga" projektionsformeln?

Jag skrev det på ett lite annat sätt än vad du skrev, tror jag. Se den fantastiska handskrivna lappen nedan.  Spegelbilden av vektorn v är alltså (2 gånger projektionen av v på u) minus v.

Tack för den fantastiska lapp från Kliniker Nnnng 😀😀

Ok, jag börjar med att erkänna att jag förstår inte din avbildningsmatris. 

Projektionen av (x,y) på (a,b) blir

$\frac{(x,y)\cdot(a,b)}{(a,b)\cdot(a,b)}(a,b)=\frac{1}{a^2+b^2}(a^2x+aby,abx+b^2y)$

Speglingen är 2 projektioner minus (x,y), så

$\frac{1}{a^2+b^2}(2a^2x+2aby,2abx+2b^2y)-\frac{1}{a^2+b^2}(a^2x+b^2x,a^2y+b^2y)$

vilket blir

$\frac{1}{a^2+b^2}(a^2x-b^2x+2aby,2abx+b^2y-a^2y)$

I matrisform är det samma som på Kliniker Nnnng!

Jo det fungerar också, men inte lika lätt än när man inte förstår uppgiften.

Vi tackar Kliniker Nnnng!