Standard Matris

Projektionen ges av (jag antar att man menar ortogonal projektion)

$\overrightarrow{x}$ $\mapsto$ ($\overrightarrow{e}$ • $\overrightarrow{x}$)$\overrightarrow{e}$, där $\overrightarrow{e}$ är en enhetsvektor som är parallell med linjen y = 4x. • betecknar skalärprodukten.

Notera $\overrightarrow{e}$ • $\overrightarrow{x}$ även kan skrivas ${\overrightarrow{e}}^T$$\overrightarrow{x}$ och att (${\overrightarrow{e}}^T$$\overrightarrow{x}$)$\overrightarrow{e}$ = ($\overrightarrow{e}$${\overrightarrow{e}}^T$)$\overrightarrow{x}$.

Standardmatrisen för projektionen är en matris A sådan att projektionen kan skrivas

$\overrightarrow{x}$ $\mapsto$ A$\overrightarrow{x}$.

Kommer du vidare?

Jag förstår inte riktigt. Kan lösa detta grafiskt på något sätt? 

Hur mycket av frågan greppar du?

Vet du vad man menar med att projicera en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^2$ på linjen y = 4x? Har du sett formeln som jag angav tex på föreläsning eller i lärobok?

Om jag gav dig en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^2$, klarar du av att grafiskt konstruera projektionen till linjen? Tex vad blir projektionen av vektorerna i standardbasen:

$\left\{\left[\left.\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right.\right]\right\}$?

Vet du vad som menas med standardmatrisen för en linjär avbildning från ${\mathrm{ℝ}}^2$ till ${\mathrm{ℝ}}^2$?

En liten hjälp på vägen: Projicera basvektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ ortogonalt på $y=4x$.

Är projektionsformeln bekant?

Vet du vad som menas med standardmatrisen för en linjär avbildning från ${\mathrm{ℝ}}^2$ till ${\mathrm{ℝ}}^2$?‏‎‎

Nej :(

dr_lund skrev:

En liten hjälp på vägen: Projicera basvektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ ortogonalt på $y=4x$.

Är projektionsformeln bekant?

Det innebär att jag söker e1 och e2 i y=4x rikningen. Men jag vet inte hur man gör det :((

Det innebär att ni inte har berört ortogonal projektion på era föreläsningar ??

Dra en linje L2 genom e₁ som är vinkelrät mot linjen L1 (y = 4x). Notera var linjen L2 korsar linjen L1.

Ledning: linjen L2 har lutningen (k-värde) -1/4. Dvs har formen y = -x/4 + m.

Jag kom fram till

(1/5 2/5)

(2/5 4/5)

Soderstrom skrev:

Jag kom fram till

(1/5 2/5)

(2/5 4/5)

Ligger dessa punkter alls på linjen y = 4x? Svar: nej.

Först vill vi bestämma m så att linjen y = $-\frac{1}{4}$x + m går genom punkten $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$.

0 = $-\frac{1}{4}·1$ + m $\Rightarrow$ m = 1/4.

Vi behöver därför lösa följande ekvationssystem:

y = 4x

y= -(1/4)x + 1/4.

Vi får lösningen x = 1/17 och y = 4/17.

Dvs projektionen av $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ till linjen y = 4x ges av $\frac{1}{17}\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$.

Hur blir det med projektionen av $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$?

En gammaltråd, verkligen. Men jag vill visa att tack vare Er har jag förstått hur standard matriser och transformationer fungerar! För visst gjorde jag rätt här? 

Kan säga att det svåraste av allt var inte formlerna, utan hur man ska börja med problemet.

EDIT: Kanske det fattas att lägga allt i en enda matris!

Bra! Som ett alternativ: Standardmatrisen $\mathsf{A}$ är, som tidigare sagts i denna tråd:

$\mathsf{A}=\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} 1 & 4\\4 & 16\end{bmatrix}$.

Detta kan du verifiera, eller hur?  $y=\mathsf{A} x$, där $\mathsf{A} =e e^T$, och $\mathbf{e}$ är linjens enhetsriktningsvektor.

Dina kalkyler åberopar bassatsen, dvs standardmatrisens kolonner är bilderna av basvektorerna.

Jo men precis! :) Det ska stå så som du skrev :) Tack dr_lund! :)