Svår fråga.

Hej!

 

Har du möjligtvis skrivit av uppgiften fel? Ska det stå så här, med x/2 i cos?

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{2{\cos }^2{\displaystyle \left(\frac{x}{2}\right)}}$

 

I vilket fall, det de gjort i steget du frågar kring är helt enkelt att förlänga med $2\cos \left(\frac{x}{2}\right)$

uppe och nere i bråket. Det svåra är att komma på att man ska göra det. Skälet till att de gör det är för att kunna använda sig av detta samband i täljaren: $\sin 2v=2\sin v \cos v$

Judit skrev:

Hej!

 

Har du möjligtvis skrivit av uppgiften fel? Ska det stå så här, med x/2 i cos?

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{2{\cos }^2{\displaystyle \left(\frac{x}{2}\right)}}$

 

I vilket fall, det de gjort i steget du frågar kring är helt enkelt att förlänga med $2\cos \left(\frac{x}{2}\right)$

uppe och nere i bråket. Det svåra är att komma på att man ska göra det. Skälet till att de gör det är för att kunna använda sig av detta samband i täljaren: $\sin 2v=2\sin v \cos v$

Jaha tack förstod inte det så tack. Men när man förlänger något måste man väl förlänga högerledet också? För annars blir väl inte sinx/2cos^2(x/2) =  (sin(x/2) x 2cos(x/2))/(cos(x/2) x 2cos(x/2)

Jodå, det stämmer, du måste inte ändra på högerledet för att förlänga. Förlängningen här innebär att du multiplicerar både täljaren och nämnaren med $2\cos \left(\frac{x}{2}\right)$. Så länge du multiplicerar både uppe och nere i bråket har du inte ändrat på bråkets värde. Vi kan se att det stämmer med siffror:

$\frac{2}{4}=\frac{2·3}{4·3}=\frac{6}{12}$

Både 2/4 och 6/12 är en halv, alltså lika mycket. Bråket ändrade inte värde när vi förlängde med 3 i både täljaren och nämnaren. Samma sak gäller för bråket i din uppgift, trots att det handlar om cosinus.

Jaha! Jag förstår. Tack!

 

Men hur vet vi då att 2sin(x/2)cos(x/2) = sinx?

 

 

UPDATE:

 

Jag tror jag vet varför!

 

2sin(x)cos(x) = sin2x

 

men eftersom vi har (x/2) så är

 

2sin(x/2)cos(x/2) = sinx

 

Det är samma som att ersätta 2x med x och x/2 med x

 

Det är kanske också samma sak som att göra

 

2sin(x*2/2)cos(x*2/2) = sin(x*2)

=>

2sin(x)cos(x) = sin(2x)

=>

2sin(x/2)cos(x/2) = sin(2x/2)

 

Eller har jag fel?

Ja, precis! Nu använder du regeln rätt. Du verkar ha förstått det!