24 svar
166 visningar
CooltMedKemi är nöjd med hjälpen!
CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Svårt med trigonometriska identiteter

Hej! 

Jag har fastnat på att bestämma utan räknare:

Sin(3π/4)

Enligt facit ska svaret bli 

√2/2

Men vilka trigonometriska identiteter användes?

Mycket tacksam för vägledning!

Micimacko 1790
Postad: 17 jul 2020

Kolla på enhetscirkeln bara

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Jasså, var det bara så enkelt? Toppen :-D

Teraeagle 11696 – Moderator
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020

Utnyttja sinv=sin(π-v)\sin v=\sin (\pi-v) vilket get att sin(3π4)=sinπ4\sin(\frac {3\pi}{4})=\sin \frac {\pi}{4}.

sinπ4\sin \frac {\pi}{4} är sinus av en standardvinkel som motsvarar √2/2.

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Tusen tack, Teraeagle!

Yngve 17853 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020

Tips - lär dig hur du tar reda på de exakta sinus- och cosinusvärdena för standardvinklarna π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} och π3\frac{\pi}{3}.

Du kan snabbt och enkelt ta reda på dessa med hjälp av Pythagoras sats och tankestöden "halv kvadrat" och "halv liksidig triangel" (fråga om du behöver hjälp med dessa). Du behöver alltså inte lära dig dessa standardvärden utantill.

Kombinera sedan med symmetrier i enhetscirkeln för att hitta motsvarande värden för trubbiga vinklar så är du hemma och behöver inte ens formelsamlingen. 

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Tack snälla Yngve! Jag PM:ar dig väldigt gärna om det här, hoppas att det går bra! Mvh

Yngve 17853 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020

Vi börjar med "halv kvadrat" och "halv liksidig triangel". Kan du med hjälo av dessa bilder beräkna de exakta sinus- och cosinusvärdena av de angivna vinklarna? Jag har utelämnat längden av en katet i den undre bilden.

CooltMedKemi skrev:

Tack snälla Yngve! Jag PM:ar dig väldigt gärna om det här, hoppas att det går bra! Mvh

CooltMedKemi, PM:a inte Yngve om detta! Det står i Pluggakuens regler att alla uppgiftsfrågor skall tas i det offentliga forumet, alltså inte i PM. /moderator

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Pythagoras sats för att räkna ut den sida som man inte känner till, alltså (1/2)^2 + b^2 = 1^2. Detta ger b=(√3)/2

Sinus = motstående/hypotenusan

Cosinus = närliggande/hypotenusan

Jag är inte säker på vad du menar att jag ska räkna vidare, då alla vinklar ser ut att redan ha olika värden på bilden?

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Smaragdalena skrev:

CooltMedKemi skrev:

Tack snälla Yngve! Jag PM:ar dig väldigt gärna om det här, hoppas att det går bra! Mvh

CooltMedKemi, PM:a inte Yngve om detta! Det står i Pluggakuens regler att alla uppgiftsfrågor skall tas i det offentliga forumet, alltså inte i PM. /moderator

Jasså, ok, då förstår jag! :-)

Yngve 17853 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020
CooltMedKemi skrev:

Pythagoras sats för att räkna ut den sida som man inte känner till, alltså (1/2)^2 + b^2 = 1^2. Detta ger b=(√3)/2

Sinus = motstående/hypotenusan

Cosinus = närliggande/hypotenusan

Jag är inte säker på vad du menar att jag ska räkna vidare, då alla vinklar ser ut att redan ha olika värden på bilden?

Det stämmer att den okända sidans längd är 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

Det är inte vinklarna jag vill att du ska bestämma utan istället sinus- och cosinusvärdena för vinklarna.

Men hjälp av sambanden sinus = motstående/hypotenusa och cosinus = närliggande/hypotenusa så får du av:

  • den första figuren fram exakta värden på sin(π4)\sin(\frac{\pi}{4}) och cos(π4)\cos(\frac{\pi}{4}).
  • den andra figuren fram exakta värden på sin(π6)\sin(\frac{\pi}{6}) och cos(π6)\cos(\frac{\pi}{6}) respektive sin(π3)\sin(\frac{\pi}{3}) och cos(π3)\cos(\frac{\pi}{3}).

Gör ett försök och visa ditt resultat. Jag tror att chansen att du kommer ihåg metoden är mycket större om du "kommer på" det själv än om jag bara skriver det här direkt 

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Yngve, kan inte du lösa åt mig bara sin (π/4) i första figuren, så löser jag dem andra själv? Det är just den här biten i trigonometrin som jag inte fattar ännu tyvärr!

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Tack Yngve att du tar dig tiden, jag gör nog vad som helst för att förstå det här någon gång! Så tack ska du ha :-D

Smaragdalena Online 43422 – Moderator
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 26 jul 2020

I första kvadranten är sinus-värdena 0,12,22,32,10,\frac{1}{2} ,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},1 för vinklarna 0o, 30o, 45o, 60o, 90o. Cosinusvärdena "går åt andra hållet". Rita upp enhetscirkeln så har du de tre andra kvadranterna nästan gratis.

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020

Tack så mycket Smaragdalena! Det gör det hela lättare att komma ihåg enhetscirkeln utantill. Förlåt, är det bara grader jag ska ange för sin (π/4) och cos (π/4) när det gäller första exemplet? Är det det som menas här med värdena? (Begreppsförvirring)

CooltMedKemi 181
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020

Sin och cos är 45° vardera. Äntligen förstår jag första triangeln, tack alla!

Yngve 17853 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 17 jul 2020 Redigerad: 17 jul 2020

När du skriver att "sin och cos är 45° vardera" så är jag inte säker på att din begreppsförvirring har släppt.

Vinklar kan uttryckas i radianer eller grader. Exempel: π3\frac{\pi}{3} radianer, 75° o.s.v.

Sambandet mellan grader och radianer är att 360° = 2π\pi radianer, vilket innebär att 1° = π180\frac{\pi}{180} radianer och att 1 radian = 180π\frac{180}{\pi}°.

Sinus- och cosinusvärden för vinklar är tal som ligger mellan (och inklusive) -1 och 1. Dessa är alltså inte vinklar.

Exempel: 1/3, -1, 0.476 o.s.v.

--------

Första figuren visar en "halv kvadrat". I den rätvinkliga triangeln som uppstår då kvadraten delas av en diagonal är de två spetsiga vinklarna båda 45°, dvs π4\frac{\pi}{4} radianer.

Välj en av de spetsiga vinklarna. Den motstående katetens längd är 1, hypotenusans längd är 2\sqrt{2}. Eftersom sin(v) = motstående/hypotenusa så gäller alltså att sin(π4)=12\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Eftersom cos(v) = närstående/hypotenusa så gäller alltså att cos(π4)=12\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Kan du föra samma typ av resonemang för den andra figuren?

CooltMedKemi 181
Postad: 18 jul 2020 Redigerad: 18 jul 2020

Sin (π/3) = (π/6)/1 = π/6

Cos (π/3) =  (1/2)/1 = 1/2

(Hoppas att jag tänkt rätt)

CooltMedKemi skrev:

Sin (π/3) = (π/6)/1 = π/6

Cos (π/3) =  (1/2)/1 = 1/2

(Hoppas att jag tänkt rätt)

Cosinusvärdet är rätt, men sinusvärdet är fel.

Hur tänkte du när du kom fram till det?

CooltMedKemi 181
Postad: 18 jul 2020

Oj, slarvfel bara. Ska givetvis vara:

Sin (π/3)= höjden / 1,

Jag tittade fel i mina anteckningar, skriver slarvigt ibland!

OK bra, då har du koll på det.

Hur är det med sin(π6)\sin(\frac{\pi}{6}) och cos(π6)\cos(\frac{\pi}{6}) då?

CooltMedKemi 181
Postad: 18 jul 2020

Sin (π/6) = (1/2)/1 = 1/2

Cos (π/6) = höjden/1 = (√3)/2

Bra!

Tror du att du komner att kunna ta fram dessa exakta värden om, säg en vecka, bara genom att använda tankestöden "halv kvadrat" och "halv liksidig triangel"?

CooltMedKemi 181
Postad: 18 jul 2020

Ja, det tror jag nog! Tack så mycket för hjälpen snälla du!

Svara Avbryt
Close