Taylor/gränsvärde

Övning 1.

Funktionen $f(x) = 7+13(x-1)+12(x-1)^2+4(x-1)^3$ har värdet $f(1) = 7$ så differensen

    $f(x) - f(1) = 13(x-1)+12(x-1)^2+4(x-1)^3$

och när man dividerar differensen med $x-1$ får man

    $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=13+12(x-1)+4(x-1)^2$.

Subtraherar man talet $13$ från detta blir resultatet

    $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-13 = 12(x-1)+4(x-1)^2 = (x-1)\cdot(8+4x).$

När $|x-1|\leq 5$ ligger talet $x$ någonstans mellan talen $-4$ och $6$ vilket betyder att talet $8+4x \leq 8+4\cdot 6 = 32$ och man kan dra slutsatsen att

    $|\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-13| \leq 32\cdot |x-1|.$

tack !