20 svar
112 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen!
lamayo 2015
Postad: 12 maj 2019

transponatet som invers?

Om man har en ON-matris T.

Går det visa att T-1=Tt?

Har ingen aning om hur jag visar det, ser bara att det stämmer med tex T=00-11/21/201/2-1/20

för T*Tt=I

Hjälp skulle uppskattas!

Albiki 3775
Postad: 12 maj 2019

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

lamayo 2015
Postad: 12 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AAt=1.

parveln 195
Postad: 12 maj 2019 Redigerad: 12 maj 2019

Det går lika bra att definiera en ortogonal matris som en matris vars kolonner är parvis ortogonal och att alla kolonner har längd 1. Då kan man visa att ATA=I genom att helt enkelt skriva matrismultiplikationen som en skalärprodukt. Betrakta t ex fallet då A är en 3x3 matris, nxn behandlas analogt,(Notera a,b,c är matrisen A:s kolonner) A=[a¯, b¯,c¯], AT=aT¯bT¯cT¯, så ATA=a·aa·ba·cb·ab·bb·cc¯·ac·bc·c=I

lamayo 2015
Postad: 12 maj 2019
parveln skrev:

Det går lika bra att definiera en ortogonal matris som en matris vars kolonner är parvis ortogonal och att alla kolonner har längd 1. Då kan man visa att ATA=I genom att helt enkelt skriva matrismultiplikationen som en skalärprodukt. Betrakta t ex fallet då A är en 3x3 matris, nxn behandlas analogt,(Notera a,b,c är matrisen A:s kolonner) A=[a¯, b¯,c¯], AT=aT¯bT¯cT¯, så ATA=a·aa·ba·cb·ab·bb·cc¯·ac·bc·c=I

Ser att det stämmer nu med skalärprodukten i matrismultiplikationen, men hur kommer det sig att jag kan använda den där? jag skulle väll visa A transponat gånger A?

parveln 195
Postad: 12 maj 2019

När du matrismultiplicerar för att få tex element 1,1 i den nya matrisen. Multiplicerar du ju elementen i rad 1 från A-transponat med elementen i kolonn 1 från A. Detta kan man skriva som en skalärmultiplikation. Se här t ex https://mathinsight.org/dot_product_matrix_notation 

Albiki 3775
Postad: 12 maj 2019
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris. 

Albiki 3775
Postad: 12 maj 2019
Smaragdalena skrev:

Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AAt=1.

För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1. 

parveln 195
Postad: 12 maj 2019
Albiki skrev:
Smaragdalena skrev:

Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AAt=1.

För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1. 

Om man har kvadratiska matriser gäller väl AB=IBA=I

Albiki 3775
Postad: 12 maj 2019
parveln skrev:
Albiki skrev:
Smaragdalena skrev:

Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AAt=1.

För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1. 

Om man har kvadratiska matriser gäller väl AB=IBA=I

Nej. Kvadratiska matriser behöver inte kommutera. 

parveln 195
Postad: 12 maj 2019 Redigerad: 12 maj 2019

De kommuterar inte i allmänhet, men i specialfallet med enhetsmatrisen. Se t ex här

Albiki 3775
Postad: 12 maj 2019
parveln skrev:

De kommuterar inte i allmänhet, men i specialfallet med enhetsmatrisen. Se t ex här

Varför skulle A vara inverterbar bara för att AB=1?

parveln 195
Postad: 12 maj 2019

Se sista punkten på invertible matrix theorem 

lamayo 2015
Postad: 12 maj 2019
Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris. 

Okej, så går det alltså inte att visa. Tack så mycket för hjälpen:)

lamayo 2015
Postad: 3 dagar sedan Redigerad: 3 dagar sedan
Albiki skrev:

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla? Är den inverterbar då (om matrisen också är kvadratisk)?

Ebola 91
Postad: 3 dagar sedan
lamayo skrev:

Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?

Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.

lamayo 2015
Postad: 3 dagar sedan Redigerad: 3 dagar sedan
Ebola skrev:
lamayo skrev:

Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?

Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.

Okej! Vad är det som gör att det inte blir enhetsmatrisen? Är det T*T^t  som blir en diagonalmatris då?

Ebola 91
Postad: 3 dagar sedan
lamayo skrev:
Ebola skrev:
lamayo skrev:

Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?

Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.

Okej! Vad är det som gör att det inte blir enhetsmatrisen? Är det T*T^t  som blir en diagonalmatris då?

För att skalärprodukterna av vektorerna som spänner upp matrisen inte blir 1. Du kan läsa mer här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Ortogonalmatris

Albiki 3775
Postad: 3 dagar sedan
lamayo skrev:
Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Hej!

En kvadratisk matris AA är ortogonal om det gäller att AAt=AtA=1.AA^{t} = A^{t}A = 1.

En kvadratisk matris AA är inverterbar om det finns en matris A-1A^{-1} sådan att AA-1=A-1A=1.AA^{-1}=A^{-1}A=1. Den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik för AA. På grund av detta är AtA^{t} och A-1A^{-1} samma matris.

Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris. 

Okej, så går det alltså inte att visa. Tack så mycket för hjälpen:)

Jo, det är ju precis det som jag har gjort i mitt inlägg. Matrisen AtA^{t} beter sig som invers matris gör och eftersom den inversa matrisen A-1A^{-1} är unik så följer det att At=A-1A^{t} = A^{-1}

lamayo 2015
Postad: 2 dagar sedan

Juste så var det :), tack igen!

Svara Avbryt
Close