Triangelolikhet

Det triangelolikheten säger är att om $a+b=c$ så är $\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|c\right|$

Ansätt

$$\begin{gathered} a=1-r^k \\ b=r^{k+1}*\left|h\left(r\right)\right| \\ c=g\left(z\right) \end{gathered}$$

Då har vi

$\left|g\left(z\right)\right|\le \left|1-r^k\right|+\left|r^{k+1}*h\left(r\right)\right|$

Men eftersom vi vet om att $0<r<1$så måste $r^k$bli ett tal mellan 0 och 1. Detta gör att $1-r^k>0$och vi kan ta bort absolutbeloppstecknen på a.

Samtidigt vet vi om att $r^{k+1}>0$ vilket gör att vi kan låta den faktorn lämna absolutbeloppsbeteckningen den med.

Bedinsis skrev:

Det triangelolikheten säger är att om $a+b=c$ så är $\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|c\right|$

Ansätt

$$\begin{gathered} a=1-r^k \\ b=r^{k+1}*\left|h\left(r\right)\right| \\ c=g\left(z\right) \end{gathered}$$

Då har vi

$\left|g\left(z\right)\right|\le \left|1-r^k\right|+\left|r^{k+1}*h\left(r\right)\right|$

Men eftersom vi vet om att $0<r<1$så måste $r^k$bli ett tal mellan 0 och 1. Detta gör att $1-r^k>0$och vi kan ta bort absolutbeloppstecknen på a.

Samtidigt vet vi om att $r^{k+1}>0$ vilket gör att vi kan låta den faktorn lämna absolutbeloppsbeteckningen den med.

Tack för din förklaring. Gällande r_0, vad är förklaringen bakom den? 

nil22222 skrev:

Bedinsis skrev:

Det triangelolikheten säger är att om $a+b=c$ så är $\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|c\right|$

Ansätt

$$\begin{gathered} a=1-r^k \\ b=r^{k+1}*\left|h\left(r\right)\right| \\ c=g\left(z\right) \end{gathered}$$

Då har vi

$\left|g\left(z\right)\right|\le \left|1-r^k\right|+\left|r^{k+1}*h\left(r\right)\right|$

Men eftersom vi vet om att $0<r<1$så måste $r^k$bli ett tal mellan 0 och 1. Detta gör att $1-r^k>0$och vi kan ta bort absolutbeloppstecknen på a.

Samtidigt vet vi om att $r^{k+1}>0$ vilket gör att vi kan låta den faktorn lämna absolutbeloppsbeteckningen den med.

Tack för din förklaring. Gällande r_0, vad är förklaringen bakom den? 

Jag är inte säker men är det inte en punkt? 

nil22222 skrev:

Tack för din förklaring. Gällande r_0, vad är förklaringen bakom den? 

De skriver ju att r skall vara "tillräckligt liten". r₀ tycks vara begränsningen som gör r tillräckligt liten. h är ju en polynomfunktion; om vi antar att $h\left(r\right)=0*r^2+0*r+10000=10000$så skulle r₀ bli $\frac{1}{10000}$eftersom r₀*h(r₀)=1.

Jag är inte helt säker på om jag förstod frågan...

Bedinsis skrev:

nil22222 skrev:

Tack för din förklaring. Gällande r_0, vad är förklaringen bakom den? 

De skriver ju att r skall vara "tillräckligt liten". r₀ tycks vara begränsningen som gör r tillräckligt liten. h är ju en polynomfunktion; om vi antar att $h\left(r\right)=0*r^2+0*r+10000=10000$så skulle r₀ bli $\frac{1}{10000}$eftersom r₀*h(r₀)=1.

Jag är inte helt säker på om jag förstod frågan...

Mm hänger inte riktigt med. En annan sak som jag har svårt att förstå är denna rad. Jag tror att jag både fattar och inte. För tillräckligt litet r kommer r(abs(h(r)) att vara mindre 1 (e det just pga intervallet?)

Obs hittade också denna men ....

Den specifika raden:

Det de vill komma fram till är att det finns ett r-värde som är litet nog att r*|h(r)| understiger 1. Detta är det ända de egentligen vill bevisa. De vill sedan ha en beteckning för detta värde och kalla det för r₀.

Om vi bara tänker oss detta framför oss: vi har ett polynom med godtyckliga faktorer framför de olika exponenterna; hur ser detta ut om vi ritar upp det?

Nedan är några exempel på hur det skulle kunna se ut.

Någon av dessa skulle kunna vara vår h-funktion.

Om vi nu istället plottar upp absolutbeloppen av dem samma:

Detta är ganska likt föregående bild. Men vad händer nu om vi multiplicerar detta med r?

Då får vi i samtliga fall funktioner som kommer närmre och närmre 0 då vi låter r gå mot 0. Till och med den gula linjen som hade rätt så höga värden. Från detta kanske du inser att det på varje linje måste finnas en punkt för vilken samtliga värden lägre än den(till vänster om den) har ett y-värde mindre än 1?

Antar att du är med på hur de kom fram till att:

$|g(z)| \leq 1 - r^k + r^{k+1}|h(r)|$

Eftersom $r^{k+1} = r \cdot r^k$ kan r^k brytas ut:

$|g(z)| \leq 1 - r^k(1 - r|h(r)|)$

Eftersom h(r) är ett polynom, så vet vi att detta går mot en konstant om r går mot noll. Det blir alltså inget gå-mot-oändligheten-beteende som för t.ex. 1/r. Med beloppstecknen runt, |h(r)|, vet vi dessutom att konstanten vi närmar oss är positiv. Med det i åtanke, vad händer med r|h(r)| om r går mot noll? Som sagt, beloppet går mot en konstant, och multipliceras med r som går mot noll. Produkten r|h(r)| går därför också mot noll, och då blir den definitivt mindre än 1 (men positiv), förr eller senare: "när r är mindre än något tröskelvärde, kalla det r₀".

Det är intressant, för nu blir det en kedja av saker som måste vara mindre än 1. Zooma ut och titta på hela parentesen: $(1 - r|h(r)|)$: 1 minus ett tal mellan 0 och 1 är också ett tal mellan 0 och 1. Och parentesen multipliceras med $r^k$, som är ännu ett tal mellan 0 och 1. Produkten stannar också kvar på intervallet mellan 0 och 1. Zooma ut ett sista steg:

$|g(z)| \leq 1 - r^k(1 - r|h(r)|)$

Här sker samma sak igen: Vi har 1, minus något som är större än noll, mindre än 1. Då måste även $|g(z)|$ vara ett tal som är större än 0, mindre än 1:

$|g(z)| < 1$

EDIT: Ursäkta om du blev lite översvämmad nu, såg att du fick ett svar medan jag skrev. Hoppas det ändå kan förtydliga något.

Skaft skrev:

Antar att du är med på hur de kom fram till att:

$|g(z)| \leq 1 - r^k + r^{k+1}|h(r)|$

Eftersom $r^{k+1} = r \cdot r^k$ kan r^k brytas ut:

$|g(z)| \leq 1 - r^k(1 - r|h(r)|)$

Eftersom h(r) är ett polynom, så vet vi att detta går mot en konstant om r går mot noll. Det blir alltså inget gå-mot-oändligheten-beteende som för t.ex. 1/r. Med beloppstecknen runt, |h(r)|, vet vi dessutom att konstanten vi närmar oss är positiv. Med det i åtanke, vad händer med r|h(r)| om r går mot noll? Som sagt, beloppet går mot en konstant, och multipliceras med r som går mot noll. Produkten r|h(r)| går därför också mot noll, och då blir den definitivt mindre än 1 (men positiv), förr eller senare: "när r är mindre än något tröskelvärde, kalla det r₀".

Det är intressant, för nu blir det en kedja av saker som måste vara mindre än 1. Zooma ut och titta på hela parentesen: $(1 - r|h(r)|)$: 1 minus ett tal mellan 0 och 1 är också ett tal mellan 0 och 1. Och parentesen multipliceras med $r^k$, som är ännu ett tal mellan 0 och 1. Produkten stannar också kvar på intervallet mellan 0 och 1. Zooma ut ett sista steg:

$|g(z)| \leq 1 - r^k(1 - r|h(r)|)$

Här sker samma sak igen: Vi har 1, minus något som är större än noll, mindre än 1. Då måste även $|g(z)|$ vara ett tal som är större än 0, mindre än 1:

$|g(z)| < 1$

EDIT: Ursäkta om du blev lite översvämmad nu, såg att du fick ett svar medan jag skrev. Hoppas det ändå kan förtydliga något.

Tack så mycket för förklaringarna! Det blev mycket tydligare att förstå. :) 

Min sista fråga är om denna rad "Eftersom h(r) är ett polynom, så vet vi att detta går mot en konstant om r går mot noll." Alltså h(0)= Ett tal = konstant, eller hur?

nil22222 skrev:

Min sista fråga är om denna rad "Eftersom h(r) är ett polynom, så vet vi att detta går mot en konstant om r går mot noll." Alltså h(0)= Ett tal = konstant, eller hur?

Exakt! =)