Trippelintegral flervariabelanalys

Försöker lösa den här integralen men vet inte vad jag gör för fel.

$I =\int \int {\int }_{D}y{e}^{z}dxdydz$där $D : \left\{\begin{array}{l}x-y\le z\le x+y\\ \left|x\right|+\left|y\right|\le 1\end{array}\right..$

 

Jag tänkte att $I=\int {\int }_E{\int }_{x-y}^{x+y}y{e}^{z}dzdxdy$där $E$är området i xy-planet som ges av $\left|x\right|+\left|y\right|\le 1$.

Jag har ritat en figur av $E$och det blir en kvadrat med hörn i $\pm$(1,0) och  $\pm$(0,1).

${\int }_{x-y}^{x+y}y{e}^{z}dz=y(e^{x+y}-e^{x-y})$och sedan försökte jag lösa integralen över $E$med basvektorerna $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$och $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right] \iff \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$Alltså $\left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}(x+y)\\ v=\frac{1}{2}(x-y) \end{array}\right.$och $\left\{\begin{array}{l}x=u+v\\ y=u-v\end{array}\right.$.

Skalfaktorn blir 2 och $E$ avbildas på en kvadrat med hörn i $\pm (1/2,0)$och $\pm (0,1/2)$i uv-planet.

$2{\int }_{-1/2}^{1/2}{\int }_{-1/2}^{1/2}(u-v)(e^{2u}-e^{2v})dudv=\frac{2}{e}$men svaret ska bli $\frac{1}{e}$och även utan variabelbytet blir svaret $\frac{2}{e}$så jag vet verkligen inte vad felet är. Har dubbelkollat integralen med Wolfram Alpha också.