9 svar
160 visningar
katal 33
Postad: 4 nov 2023 14:25 Redigerad: 4 nov 2023 14:27

Tröghetsmoment som funktion av vinkel

Hej!

Försöker få ihop denna:

Men av någon orsak blir ingenting rätt. Har testat att ta tröghetsmomentet i masscentrum, har även testat ta tröghetsmomentet i mitten på cirkeln samt i den lägsta punkten på cirkeln för att sedan använda energisambandet och få ihop et uttryck för omega, men får inte alls rätt svar. 

Har tänkt såhär:

Tröghetsmomentet, stång: Iz=mr212 I_z=\frac{mr^2}{12}

Parallellförflyttningssatsen till cirkelns lägsta punkt, C:
Ic=Iz+m(r2sinθ+r2cosθ)2I_c=I_z+m(\frac{r}{2}sin\theta+\frac{r}{2}cos\theta)^2

=mr212+m(r24+r22sinθcosθ)=\frac{mr^2}{12}+m(\frac{r^2}{4}+\frac{r^2}{2}sin\theta cos\theta)

=3mr2+mr22sinθcosθ= 3mr^2+\frac{mr^2}{2}sin\theta cos\theta

Hastigheten i C: vc=0 v_c=0

Energisambandet:
E=mvc22+Iz+ω22=mgsinθr2E=\frac{mv_{c}^2}{2}+\frac{I_z+ \omega ^2}{2}=mgsin\theta \frac{r}{2}

Nu om man bryter ut omega får man inte alls att
ω=gr3sinθ4-3sinθ\omega = \sqrt{\frac{g}{r} \frac{3sin\theta}{4-3sin \theta}}

Någon som kan ge tips på hur frågan ska lösas?

Tack!

D4NIEL 2824
Postad: 4 nov 2023 17:11 Redigerad: 4 nov 2023 17:18

Du kan se rörelsen som sammansatt av två rörelser. En rotation kring masscentrum samt en translation av masscentrum.

Den mekaniska energin är bevarad.

W1=W2+12Icω2+12mv2W_{1}=W_{2}+\frac12 I_c\omega^2+\frac12mv^2, där Ic=112mr2I_c=\frac{1}{12}mr^2

Lös ut θ˙\dot{\theta}

Lämpligt delsteg: Vad blir lägesvektorn r(θ)\mathbf{r(\theta)} för tyngdpunktscentrum? Vad blir absolutbeloppet av dess derivata i kvadrat, dvs v2=|r˙|2v^2=|\dot{\mathbf{r}}|^2?

katal 33
Postad: 4 nov 2023 18:50 Redigerad: 4 nov 2023 18:54
D4NIEL skrev:

Du kan se rörelsen som sammansatt av två rörelser. En rotation kring masscentrum samt en translation av masscentrum.

Den mekaniska energin är bevarad.

W1=W2+12Icω2+12mv2W_{1}=W_{2}+\frac12 I_c\omega^2+\frac12mv^2, där Ic=112mr2I_c=\frac{1}{12}mr^2

Lös ut θ˙\dot{\theta}

Lämpligt delsteg: Vad blir lägesvektorn r(θ)\mathbf{r(\theta)} för tyngdpunktscentrum? Vad blir absolutbeloppet av dess derivata i kvadrat, dvs v2=|r˙|2v^2=|\dot{\mathbf{r}}|^2?

Oj, men jo precis,  här är en annan liknande metod jag testat:

Har suttit planet som cirkeln rullar på som y=0, därför ges E=T0+V0=T1+V1E=T_0+V_0=T_1+V_1, då jag väljer att sätta V0=mgrV_0=mgr, V1=0V_1=0 , T0=0T_0=0 och T1=12Icω2+12mv2T_1=\frac{1}{2}I_c\omega ^2 +\frac{1}{2} mv^2 ges E=V0=T1E=V_0=T_1

Tror att det kan vara här jag får problem, använder hastighetssambandet för en stel kropp: VG=Vc+ω¯×r¯GcV_G=V_c+\overline \omega \times \overline r_{Gc} , där r¯Gc=rcosθe¯x+rsinθe¯y\overline r_{Gc}=rcos \theta \overline e_x + rsin \theta \overline e_y , här ges sedan hastigheten i G som:

V¯G=0+ωrcosθe¯y-ωrsinθe¯x\overline V_G =0+ \omega rcos \theta \overline e_y - \omega rsin \theta \overline e_x

Sedan sätter jag in VGV_G i formeln för den mekaniska energin jag tagit fram, då blir vinkelhastigheten θ˙=ω\dot \theta = \omega ändå inte rätt...

D4NIEL 2824
Postad: 4 nov 2023 19:43 Redigerad: 4 nov 2023 19:56

Jag vet inte om jag tolkar dig rätt, men masscentrum följer den blå linjen nedan och rör sig inte bara i en cirkelbåge utan också åt höger i bild.

Den hastighet du tagit fram är bara vinkelhastigheten runt cirkelcentrum, inte translationen. Dessutom är den effektiva radien r/2r/2. Om du lägger till translationshastigheten VC=rωexV_C=r\omega\mathbf{e}_x får du nästan rätt.

VG=(rω-12rωsinθ,-12rωcosθ)V_G=(r\omega-\frac12r\omega\sin\left(\theta\right),-\frac12r\omega\cos\left(\theta\right))

Förövrigt, hur får du V0=mgrV_0=mgr och V1=0V_1=0?

Om V1V_1 är den potentiella energin i ett senare läge ges den som funktion av θ\theta och är

V1=mg(r-12rsinθ)V_1=mg(r-\frac12r\sin\left(\theta\right))

Den är aldrig noll om V0=mgrV_0=mgr.

katal 33
Postad: 4 nov 2023 20:17 Redigerad: 4 nov 2023 20:18
D4NIEL skrev:

Jag vet inte om jag tolkar dig rätt, men masscentrum följer den blå linjen nedan och rör sig inte bara i en cirkelbåge utan också åt höger i bild.

Den hastighet du tagit fram är bara vinkelhastigheten runt cirkelcentrum, inte translationen. Dessutom är den effektiva radien r/2r/2. Om du lägger till translationshastigheten VC=rωexV_C=r\omega\mathbf{e}_x får du nästan rätt.

VG=(rω-12rωsinθ,-12rωcosθ)V_G=(r\omega-\frac12r\omega\sin\left(\theta\right),-\frac12r\omega\cos\left(\theta\right))

Förövrigt, hur får du V0=mgrV_0=mgr och V1=0V_1=0?

Om V1V_1 är den potentiella energin i ett senare läge ges den som funktion av θ\theta och är

V1=mg(r-12rsinθ)V_1=mg(r-\frac12r\sin\left(\theta\right))

Den är aldrig noll om V0=mgrV_0=mgr.

Hm, men T1=12mv2+12Icω2T_1=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_c\omega ^2 tar ju med både ban och spinn-delen av den mekaniska energin, dvs. v2v^2 ger väl den totala hastigheten för punkten i fråga (masscentrum?), jag tog vcv_c som hastigheten för den punkt på cirkeln som sitter närmast planet, och hastigheten för den punkten är =0.

Menar du att man borde ta fram hastighetssambandet för stångens mittpunkt med hjälp av translationshastigheten för cirkelns mittpunkt istället? Isåfall kan jag förstå hur det ger ett annat resultat, ja.

När det kommer till den potentiella energin såg ditt svar absolut mer rätt ut! Tror att jag är lite förvirrad över vilka punkter man ska använda i beräkningarna, man ska alltså räkna fram stångens masscentrums hastighet, tröghetsmoment och potentiell energi och sätta in i "formeln"?

D4NIEL 2824
Postad: 4 nov 2023 20:36 Redigerad: 4 nov 2023 20:38

Det är ju lite olika tankesätt, och jag rekommenderar att du räknar som ni lärt er. Du måste inte tänka på det som "translation + rotation"

Men är inte r¯Gc\mathbf{\bar{r}}_{Gc} Vektorn som talar om var tyngdpunkten befinner sig i förhållande till kontaktpunkten C?

Då är den

r¯Gc=12rcos(θ),r-12rsin(θ)\mathbf{\bar{r}}_{Gc}=\left(\frac12r\cos(\theta), r-\frac12r\sin(\theta)\right)

Jämför med vårt förväntade resultat (0,r/2)(0,r/2) när θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}

Vidare är jag inte med på din kryssprodukt. Med ω=-ωez\mathbf{\omega}=-\omega\mathbf{e}_z, vi roterar ju medurs, får vi

ω×r=-ωez×ex12rcos(θ)+ey(r-12rsin(θ))\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}=-\omega\mathbf{e}_z \times \left(\mathbf{e}_x\frac{1}{2}r\cos(\theta)+\mathbf{e}_y(r-\frac12r\sin(\theta))\right)

Vilket ger dig den korrekta hastigheten. Så man kan ju räkna på det sättet också, om man räknar rätt...

katal 33
Postad: 4 nov 2023 20:53 Redigerad: 4 nov 2023 20:54
D4NIEL skrev:

Det är ju lite olika tankesätt, och jag rekommenderar att du räknar som ni lärt er. Du måste inte tänka på det som "translation + rotation"

Men är inte r¯Gc\mathbf{\bar{r}}_{Gc} Vektorn som talar om var tyngdpunkten befinner sig i förhållande till kontaktpunkten C?

Då är den

r¯Gc=12rcos(θ),r-12rsin(θ)\mathbf{\bar{r}}_{Gc}=\left(\frac12r\cos(\theta), r-\frac12r\sin(\theta)\right)

Jämför med vårt förväntade resultat (0,r/2)(0,r/2) när θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}

Vidare är jag inte med på din kryssprodukt. Med ω=-ωez\mathbf{\omega}=-\omega\mathbf{e}_z, vi roterar ju medurs, får vi

ω×r=-ωez×ex12rcos(θ)+ey(r-12rsin(θ))\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}=-\omega\mathbf{e}_z \times \left(\mathbf{e}_x\frac{1}{2}r\cos(\theta)+\mathbf{e}_y(r-\frac12r\sin(\theta))\right)

Vilket ger dig den korrekta hastigheten. Så man kan ju räkna på det sättet också, om man räknar rätt...

Jättetack, känner att jag hänger med bättre nu!

Undrar däremot hur du kom fram till r¯Gc=(12rcosθ,r-12rsinθ\overline r_{Gc}=(\frac{1}{2}rcos \theta , r-\frac{1}{2}rsin \theta , mer specifikt y-komponenten?

Har försökt sätta ihop något liknande ett tag, men kom aldrig fram till något vettigt.

 

Insåg nu när du skrev det att jag suttit positiv z-axel åt fel håll, tack för påpekandet! :)

D4NIEL 2824
Postad: 4 nov 2023 21:15 Redigerad: 4 nov 2023 21:23

y-komponenten får man fram med trigonometri, till exempel en rätvinklig triangel. Var inte rädd för att rita bilder och ta fram uttryck för masscentrum och andra punkter. När man gjort det några gånger blir det lättare.

Hypotenusans längd till masscentrum är 12r\frac12r. Alltså blir det markerade vertikala avståndet (kateten) 12rsin(θ)\frac12 r\sin(\theta) och höjden över x-axeln därmed y=r-12rsin(θ)y=r-\frac12r\sin(\theta).

 

katal 33
Postad: 4 nov 2023 23:13 Redigerad: 4 nov 2023 23:13
D4NIEL skrev:

y-komponenten får man fram med trigonometri, till exempel en rätvinklig triangel. Var inte rädd för att rita bilder och ta fram uttryck för masscentrum och andra punkter. När man gjort det några gånger blir det lättare.

Hypotenusans längd till masscentrum är 12r\frac12r. Alltså blir det markerade vertikala avståndet (kateten) 12rsin(θ)\frac12 r\sin(\theta) och höjden över x-axeln därmed y=r-12rsin(θ)y=r-\frac12r\sin(\theta).

 

Testade att sätta in det övre i energisambandet och får ω2\omega ^2:

ω2=gr6sinθ7-3sinθ\omega ^2 =\frac{g}{r} \frac{6sin \theta }{7-3 sin \theta}, satte in vG=ω2r22-ω2r2sinθ2v_G=\frac{\omega ^2r^2}{2}-\frac{\omega ^2r^2 sin \theta }{2} och V0=12rsinθV_0=\frac{1}{2}rsin \theta , vet inte om jag missförstått något? 

D4NIEL 2824
Postad: 5 nov 2023 03:27 Redigerad: 5 nov 2023 03:37

Jag tror att du blandar ihop våra betraktelsesätt nu, jag borde bett dig redovisa dina räkningar från början så hade vi kunnat fokusera på rörelse kring fix punkt C, dvs vc=0v_c=0.

Hastigheten blir

v=-ωez×ex12rcos(θ)+ey(r-12rsin(θ))=rω-12rωsin(θ),-12rωcos(θ)v=-\omega\mathbf{e}_z \times \left(\mathbf{e}_x\frac{1}{2}r\cos(\theta)+\mathbf{e}_y(r-\frac12r\sin(\theta))\right)=\left(r\omega-\frac12r\omega \sin(\theta),-\frac12 r\omega\cos(\theta)\right)

Hastigheten i kvadrat (dvs normen i kvadrat), dvs det vi behöver till vår rörelseenergi är därmed

 |v|2=r2ω254-sin(θ)|v|^2=r^2\omega^2\left(\frac54-\sin(\theta)\right)

Energisambandet som du använder är V0+T0=V1+T1V_0+T_0=V_1+T_1 med T0=0T_0=0:

mgr=mgr-12rsin(θ)+12Iω2+12m|v|2mgr=mg\left(r-\frac12r\sin(\theta)\right)+\frac12I\omega^2+\frac12m|v|^2

Sätter vi in våra resultat och värden får vi

mgr=mgr-12rsin(θ)+12mr212ω2+12mr2ω254-sin(θ)mgr=mg\left(r-\frac12r\sin(\theta)\right)+\frac12\left(\frac{mr^2}{12}\right)\omega^2+\frac12m\left(r^2\omega^2\left(\frac54-\sin(\theta)\right) \right)

Lös ut ω\omega

ω2=gr3sin(θ)4-3sin(θ)\omega^2=\displaystyle \frac{g}{r} \frac{3\sin(\theta)}{4-3\sin(\theta)}

Svara
Close