17 svar
308 visningar
jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018 Redigerad: 17 nov 2018

Uppgiftsbank-Matematik 3-Integraler

Tanken med denna tråd är att ni ska kunna använda följande uppgifter för att träna och repetera era kunskaper inom momentet "Integraler" i matematik 3 kursen på gymnasiet. Därför har jag skapat en uppgiftsbank med varierande uppgifter från E till A-nivå. Om ni själva skulle vilja dela med er av uppgifter så får ni gärna bygga vidare på uppgiftsbanken inom momentet "Integraler". Kommentarer och inlägg som inte följer instruktionerna bör postas i en separat tråd eller skickas via PM. Detta för att göra tråden mer lättläst och mindre stökig.

Skulle ni hitta några fel eller liknande kan ni kontakta mig via PM här.

Tips: När du läser frågorna, scrolla så att frågan är längst ned på skärmen. Gör först ett eget försök att lösa uppgiften, innan du läser lösningsförslaget.


Min tanke är att strukturen på en post ska se ut som följande:


Nivå: (E, C eller A)


Uppgift: Här skriver du uppgiftens innehåll och fråga/frågor.


Lösning: Här skriver du lösningen till frågan/frågorna.


Skriven av:  Inget jag anser måste vara med, men endast om man vill refererar till vem som är uppgiftsskaparen eller var uppgiften kommer ifrån.


 Klistrad av Teraeagle, moderator

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: E


Uppgift: Bestäm samtliga primitiva funktioner till f(x)=15x4+6x-2


Lösning: F(x)=15x4+6x-2dx=155x5+62x2-2x+C=3x5+3x2-2x+C, där C är en konstant.

För att kontrollera att svaret är korrekt ska F'(x)=f(x) gälla, vi kollar: F'(x)=5·3x4+2·3x-2=15x4+6x-2=f(x).

Svar: F(x)=3x5+3x2-2x+C


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: E


Uppgift: Integralen -27(3m-15)dm är given

a) Vilken är den övre integrationsgränsen? 

b) Vilka är integrationsvariabeln?


Lösning: 

a) Den övre integrationsgräsen motsvarar talet som är markerat i blått: -27(3m-15)dm, vilket motsvarar 7. Svar: 7

b) Integrationsvariabeln är markerat i rött: se a) vilket motsvarar m. Svar: m


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: E


Uppgift: Anta att en befolkning B miljoner ökar med hastigheten B'(t)=0,4e0,08t, där t är antal år efter 2018.

a) Bestäm B(t) om befolkningen var 15 miljoner år 2018.

b) Med hur många invånare ökar befolkningen mellan 2018 och 2020.


Lösning:

a) B(t)=0,4e0,08tdt=0,40,08e0,08t+C=5e0,08t+C, där B(0)=1515=5e0,08·0+CC=10B(t)=5e0,08+10

Svar: B(t)=5e0,08+10

b) Befolkningsökningen mellan 2018 och 2020 kan beräknas följande:

02B'(t)dt=5e0,08t02=5e0,08·2-5e0,08·00,87

Svar: Ca 0,87 miljoner


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: E


Uppgift: Beräkna integralen 24(4x+3x2)dx


Lösning: 24(4x+3x2)dx=42x2+33x324=2x2+x324=2·42+43-(2·22+23)=80

Svar: 80


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå E:


Uppgift: Ange alla primitiva funktioner H till h(x)=4x-1


Lösning: H(x)=(4x-1)dx=42x2-x+C=2x2-x+C, där C är en konstant.

För att kontrollera att de är korrekt ska H'(x)=h(x) gälla. Vi kollar: H'(x)=2·2x-1=4x-1=h(x).

Svar: H(x)=2x2-x+C


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: C


Uppgift: Funktionen g(x)=3+x. Bestäm den primitiva funktionen som uppfyller villkoret G(0)=1 och beräkna G(4).


Lösning: G(x)=3+xdx=3x+2xx3+C, där G(0)=11=3·0+2·0·03+CC=1

Det ger att G(4)=3·4+2·443+1=18+13=553.

Svar: G(4)=553


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm konstanten k så att -22(k+4x)dx=8


Lösning:

 VL=-22(k+4x)dx=kx+2x2-22=2k+8-(-2k+8)=4k

VL=HL4k=8k=2

Svar: k=2


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: C


Uppgift: För en funktion t har egenskaperna att t'(x)=-1 och 04t(x)dx=5. Bestäm t(x).


Lösning: 

t(x)=t'(x)dx=-1dx=-x+C, där C är en konstant. Detta medför att:04t(x)dx=504(-x+C)dx=5-x22+Cx04=5-422+C·4=5-8+4C=5C=134

Svar: t(x)=-x+134


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: C


Uppgift: 

Figuren visar grafen till en funktion F det vill säga en primitiva funktionen till f.  Bestäm -21f(x)


Lösning: -21f(x)dx=F(1)-F(-2)=4-1=3, Svar: 3


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm en primitiv funktion F till f(x)=4x+x3x3


Lösning: F(x)=4x+x3x3dx=4x-2+1dx=4-1x-1+x+C=-4x+x+C, låt t.ex. C=0F(x)=-4x+x

Svar: T.ex. F(x)=x-4x


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: A


Uppgift: För en funktion f(x)=1x2 där x>0. I en punkt Q som ligger på kurvan är en tangent dragen. Tangenten bildar tillsammans med de positiva koordinataxlarna och punkten Q en parallelltapets. Bestäm punktens Q:s x-koordinat så att arean blir 0,5 a.e. 


Lösning: Anta att punkten Q har koordinaterna (a,f(a))(a,1a2) där a>0.

f'(x)=-2x3f'(a)=-2a3 vilket motsvarar lutningen för tangenten. Tangentens ekvation blir då: y-1a2=-2a3(x-a)y=-2a3x+3a2.

Där efter går det att ställa upp ekvationen:0a(-2a3x+3a2)dx=0,5-x2a3+3a2x0a=0,5-a2a3+3aa2=0,52a2=a30,5a2(a2-2)=0a1=4 , a2=0

Svar: Punktens Q:s x-koordinat är x=4


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: A


Uppgift: Jonathan kör med hastigheten 90 km/h när han plötsligt ser sin fysik lärare 90 meter bort som är på väg över gatan. Hur mycket ska hastigheten minska per sekund så att han inte precis så kör sin lärare.


Lösning: Anta att retardation är a m/s2 det ger att v(t)=903,6-at=25-at m/s. Hastigheten när han stannar är måste vara noll vilket ger efter tiden: v(t)=00=25-att=25a.

Detta ger ekvationen:

 90=025a(25-at)dt=25t-a2t2025a=252a-252a2a2=2·252a-252a2a2=2522a90=2522aa=2522·903,5 m/s2

Svar: Hastigheten ska minska med 3,5 m/s2


Skriven av: Jonis10

tomast80 2363
Postad: 17 nov 2018
jonis10 skrev:

Nivå: C


Uppgift: För en funktion t har egenskaperna att t'(x)=-1 och 04t(x)dx=5. Bestäm t(x).


Lösning: 

t(x)=t'(x)dx=-1dx=-x+C, där C är en konstant. Detta medför att:04t(x)dx=504(-x+C)dx=5-x22+Cx04=5-422+C·4=5-8+4C=5C=134

Svar: t(x)=-x+134


Skriven av: Jonis10

Snygga uppgifterna och lösningar! En fundering bara: vad säger att det just ska vara ett polynom som är t(x)t(x)? Det kan väl lika gärna vara en exponentialfunktion, trigonometrisk funktion eller nån annan? 

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: A


Uppgift: Kurvan y=2x-x2 innesluter tillsammans med x-axeln ett område. Hur stor andel av områdets area kan triangeln högst uppta? 


Lösning: För att börja med att vi ta fram nollställena för kurvan y=2x-x2. y=00=2x-x2x2-x=0x1=2 , x2=0

Arean som kurvan y=2x-x2 innesluter är detsamma som: A1=022x-x2dx=x2-x3302=43 a.e.

I bilden ovan syns en rätvinklig triangeln om triangelns vänstra hörn på x-axeln har koordinaten (a,y(a))(a,2a-a2) där a>0. Basen på den rätvinkliga triangeln är då det samma som  b=2-a och höjden h=2a-a2.

Detta ger att: A(a)2=bh2=(2-a)(2a-a2)2=a(2-a)22=4a-4a2+a32=2a-2a2+0,5a3

A(a)2=2a-2a2+0,5a3A'(a)2=2-4a+1,5a2A''(a)2=-4+3a2

Nu söker vi den maximala arean:

A'(a)2=02-4a+1,5a2=0a1=2 , a2=23

A''(2)2=-4+3·22>0 (minimipunkt)

A''(23)2=-4+3·232<0 (maximipunkt)

A2=A(23)2=12·23(2-23)2=13(43)2=4233 a.e.

Förhållandet: A2A1=4233·34=49

Svar: 49


Skriven av: Jonis10

tomast80 2363
Postad: 17 nov 2018
Vjonis10 skrev:

Nivå: C


Uppgift: Funktionen g(x)=3+x. Bestäm den primitiva funktionen som uppfyller villkoret G(0)=1 och beräkna G(4).


Lösning: G(x)=3+xdx=3x+2xx3+C, där G(0)=11=3·0+2·0·03+CC=1

Det ger att G(4)=3·4+2·443+1=18+13=553.

Svar: G(4)=553


Skriven av: Jonis10

 Alternativ lösning:

G(4)-G(0)=04g(x)dxG(4)-G(0)=\int_0^4g(x)dx\Rightarrow

G(4)=G(0)+043+xdx=G(4)=G(0)+\int_0^43+\sqrt{x}dx=

1+[3x+2xx3]04=1+[3x+\frac{2x\sqrt{x}}{3}]_0^4=

1+(12+163-0)=1+(12+\frac{16}{3}-0)=

13·3+163=\frac{13\cdot 3+16}{3}=

553

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: A


Uppgift: Bestäm a så att uttrycket adxx3+a2 där a>0 blir så litet som möjligt.


Lösning:

 f(a)=adxx3+a2=-12x2a+a2=limx-12x2-(-12a2)+a2=a2+12a2

f'(a)=2a-1a3f'(a)=02a-1a3=0a=1214

f''(a)=2+3a4f''(1214)=2+312>0 (minimipunkt)

Svar: a=1214


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 17 nov 2018

Nivå: A


Uppgift: Bilden visar grafen för y=xn där n>1. Längden för hjälplinjerna är 1 l.e. Bestäm förhållande mellan areorna A1 och A2.


Lösning: Om bredden på rektangeln är 1 l.e. medför det att höjden är y(1)=1n=1 dvs en kvadrat.

Detta ger att A1=01xndx=xnn+101=1n+1 a.e.

Arean av rektangeln ges av Arek=bh=1·1=1, det med för att A2=Arek-A1=1-ann+1=1-1n+1

Det ger förhållandet: A1A2=1n+11-1n+1=1n+1nn+1=1n

Svar: 1n


Skriven av: Jonis10 , notering: för den som vill undersöka lite mer kan sätta bredden till t.ex. a l.e. och undersöka vad som händer med förhållande då.

Svara Avbryt
Close