varför bryta ut den dominerande termen?

Jao, har du testat att ta en annan term och hur gick det? Det är ju bra att experimentera och testa vad som händer om man inte följer en algoritm för att få bättre förståelse men ofta är själva förklaringen inte så mycket mer än att det inte går på det andra viset. 

Säg att vi har gränsvärdet:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{3x^2-x}$

Om vi bryter ut $x^2$ ramlar gränsvärdet ut ganska enkelt:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(3-\frac{1}{x})}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{3}$

Bryter vi däremot ut $x$ får vi:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x(x+\frac{1}{x})}{x(3x-1)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x}}{3x-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=?$

Om vi inte bryter ut den dominerande termen hamnar vi bara återigen i $\frac{\infty}{\infty}$. Vi måste alltså bryta ut den dominerande termen för att komma någon vart.

AlvinB skrev:

Säg att vi har gränsvärdet:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{3x^2-x}$

Om vi bryter ut $x^2$ ramlar gränsvärdet ut ganska enkelt:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(3-\frac{1}{x})}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{3}$

Bryter vi däremot ut $x$ får vi:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x(x+\frac{1}{x})}{x(3x-1)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x}}{3x-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=?$

Om vi inte bryter ut den dominerande termen hamnar vi bara återigen i $\frac{\infty}{\infty}$. Vi måste alltså bryta ut den dominerande termen för att komma någon vart.

 Men hur vet man att detta alltid gäller? Finns det något bevis?

Om du inte bryter ut den dominerande termen kommer den dominerande termen att dra iväg mot oändligheten och så hamnar du i $\frac{\infty}{\infty}$. Genom att bryta ut den dominerande termen kommer ju alla termer i nämnare och täljare att gå mot ett ändligt tal, och då kan du utläsa gränsvärdet.

AlvinB skrev:

Om du inte bryter ut den dominerande termen kommer den dominerande termen att dra iväg mot oändligheten och så hamnar du i $\frac{\infty}{\infty}$. Genom att bryta ut den dominerande termen kommer ju alla termer i nämnare och täljare att gå mot ett ändligt tal, och då kan du utläsa gränsvärdet.

 Okej! Tack!