Varför har en linje och normal till linje samma koefficienter?

Nu har jag inte kontrollräknat något men när det gäller uttrycket (-4,5,0)+t(1,-2,1) så kan du tänka att du har punkten (-4,5,0) och riktningsvektorn (1,-2,1). Sätter du t=0 så står du på punkten och när du sedan väljer $t\in \mathrm{ℝ}$ så får du alla punkter på linjen som har riktiningen (1,-2,1) och som går genom punkten (-4,5,0). En normal till linjen är så klart ortogonal mot (1,-2,1).

Peter skrev:

Nu har jag inte kontrollräknat något men när det gäller uttrycket (-4,5,0)+t(1,-2,1) så kan du tänka att du har punkten (-4,5,0) och riktningsvektorn (1,-2,1). Sätter du t=0 så står du på punkten och när du sedan väljer $t\in \mathrm{ℝ}$ så får du alla punkter på linjen som har riktiningen (1,-2,1) och som går genom punkten (-4,5,0). En normal till linjen är så klart ortogonal mot (1,-2,1).

Normallinjen som går genom P har parametrarna:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ 3-2t\\ z=3+t\end{array}\right. \\ Hur hittar jag skärningspunkten mellan normalen och L? \end{gathered}$$

Har fortfarande inte kontrollräknat något. Men nu har du då 2 linjer (L och normalen genom P). Du antar att de har en gemensam punkt (=skärningspunkten). Då kan du sätta ekvationerna lika så i både x- y- och z-led. Då får du 3 ekvationer med 2 obekanta som har 1 lösning om du har gjort rätt.

Om du har en linje Q(t) = Q₀ + t$\overrightarrow{v}$ och en punkt P, så är den punkt Q(t) på linjen som ligger närmast P sådan att vektorn $\overrightarrow{Q\left(t\right)P}$ är vinkelrät mot linjen, dvs vi har villkoret att

$\overrightarrow{Q\left(t\right)P}$•$\overrightarrow{v}$ = 0.