Vid ett lokalt maximum har derivatan ett nollställe.

Följande problem kommer från en tenta i kursen Envariabelanalys som ges i första årskursen på civilingenjörsutbildningarna på Chalmers i Göteborg.
Påstående: Anta att funktionen $f$ är definierad på ett intervall och att $a$ är en inre punkt i detta intervall. Visa att om $f$ har ett lokalt maximum i punkten $a$ och derivatan $f^{'}(a)$ existerar så är $f^{'}(a) = 0.$
Bevis. Derivatan $f^{'}(a)$ existerar precis då vänstergränsvärdet
$\lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
existerar och är lika med högergränsvärdet
$\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$
Eftersom $a$ är en inre punkt till funktionens definitionsmängd så ligger $x$ också i definitionsmängden om $x$ är tillräckligt nära punkten $a.$ Differenskvoten
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
existerar alltså om $x$ är tillräckligt nära $a.$
Anta att $x - a > 0.$ Eftersom funktionen $f$ har ett lokalt maximum i punkten $a$ så är
$f(x) \leq f(a),$
vilket medför att differenskvoten är negativ för alla $x$ som är tillräckligt nära $a;$ den är en kvot av en negativt täljare och en positiv nämnare. Det betyder att högergränsvärdet är negativt
$\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.$
Anta att $x - a < 0.$ Det medför att differenskvoten är positiv (en kvot av två negativa tal), vilket betyder att vänstergränsvärdet är positivt
$\lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0.$
Eftersom vänstergränsvärdet är lika med högergränsvärdet, och definieras som derivatan $f^{'}(a)$, så gäller det att
$f^{'}(a) \leq 0 \leq f^{'}(a),$
det vill säga $0 = f^{'}(a),$ vilket skulle bevisas.